Maximum-Minimum in Trigo
Maximum-Minimum in Trigo
Every trigonometric maximum-minimum question in SSC CGL follows one of three rules. For a sine or cosine combination, the range is plus or minus the root of a squared plus b squared. For weighted squares, the answer is simply the larger or smaller coefficient.
The three rules
a sin x + b cos x: maximum = root(a squared + b squared), minimum = minus that
a sin squared x + b cos squared x: maximum = larger of a and b, minimum = smaller
sin x and cos x each lie between -1 and 1; sec and cosec never lie strictly between -1 and 1
Reading the question correctly
Check whether the expression uses the ratios themselves or their squares, because the two rules give entirely different answers. SSC places both results among the options, so the misread is punished rather than merely slowed.
| Expression | Maximum | Minimum |
|---|---|---|
| 3 sin x + 4 cos x | 5 | -5 |
| 5 sin squared x + 3 cos squared x | 5 | 3 |
| sin x times cos x | 1/2 | -1/2 |
| sin to the fourth + cos to the fourth | 1 | 1/2 |
Solved examples
Example 1. Find the maximum value of 3 sin x plus 4 cos x. It is the root of 9 plus 16, which is 5.
Example 2. Find the minimum value of 5 sin squared x plus 3 cos squared x. It is the smaller coefficient, which is 3.
Example 3. Find the maximum value of sin x times cos x. Since twice this product is sin 2x, whose maximum is 1, the answer is one-half.
Example 4. Find the maximum value of 12 sin x minus 5 cos x. It is the root of 144 plus 25, which is 13.
Example 5. Find the minimum value of sec squared x plus cosec squared x. Their sum is never less than 4, reached when x is 45 degrees.
Traps SSC repeats
✗ Maximum of 3 sin x + 4 cos x is 7 | ✓ It is 5, the root of a squared plus b squared
✗ Maximum of 5 sin squared x + 3 cos squared x is 8 | ✓ It is 5, the larger coefficient
Pehle dekho ki expression me ratio hai ya uska square. Ratio hai to root wala niyam, square hai to bada-chhota coefficient - dono alag hain.
Exam pointer — This gives at most 1 question but it is entirely formula-driven, which makes it a 15-second mark when the two rules are memorised. Both wrong answers, the sum of the coefficients and the sum of the squares, are always among the options, so read whether the expression is squared before you look at the choices at all.
Frequently Asked Questions
What is the maximum value of a sin x plus b cos x?
It is the square root of a squared plus b squared, and the minimum is the negative of that. So 3 sin x plus 4 cos x ranges between minus 5 and 5.
What is the maximum of a sin squared x plus b cos squared x?
It is simply the larger of the two coefficients, and the minimum is the smaller. For 5 sin squared x plus 3 cos squared x the range is 3 to 5.
What is the maximum value of sin x times cos x?
It is one-half, because twice the product equals sin 2x, whose greatest value is 1. The minimum is minus one-half.
Can sec x take a value between minus 1 and 1?
No. Since sec is the reciprocal of cosine and cosine never exceeds 1 in magnitude, sec x is always at least 1 or at most minus 1.
60-second recap
- a sin x + b cos x ranges over plus or minus root(a squared + b squared).
- a sin squared + b cos squared ranges between the two coefficients.
- sin x cos x has maximum one-half.
- sin and cos stay within minus 1 and 1.
- Check for squares before choosing the rule.
Now practise these trigonometry questions in the free SSC CGL Tier 1 mock test on ExamAtlas.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
अधिकतम-न्यूनतम मान
SSC CGL में त्रिकोणमिति के अधिकतम-न्यूनतम वाले हर सवाल तीन नियमों में से किसी एक पर चलते हैं। sine या cosine के मेल के लिए परिसर होता है धन या ऋण root of a squared plus b squared। भारित वर्गों के लिए उत्तर बस बड़ा या छोटा गुणांक होता है।
तीन नियम
a sin x + b cos x: अधिकतम = root(a squared + b squared), न्यूनतम = उसका ऋणात्मक
a sin squared x + b cos squared x: अधिकतम = a और b में बड़ा, न्यूनतम = छोटा
sin x और cos x दोनों -1 से 1 के बीच रहते हैं; sec और cosec कभी भी -1 और 1 के ठीक बीच नहीं आते
सवाल को सही पढ़ना
देखिए कि व्यंजक में अनुपात खुद हैं या उनके वर्ग, क्योंकि दोनों नियमों के उत्तर बिल्कुल अलग आते हैं। SSC दोनों परिणाम विकल्पों में रख देता है, इसलिए गलत पढ़ने पर सिर्फ समय नहीं जाता, अंक भी कट जाता है।
| व्यंजक | अधिकतम | न्यूनतम |
|---|---|---|
| 3 sin x + 4 cos x | 5 | -5 |
| 5 sin squared x + 3 cos squared x | 5 | 3 |
| sin x गुणा cos x | 1/2 | -1/2 |
| sin to the fourth + cos to the fourth | 1 | 1/2 |
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 3 sin x जोड़ 4 cos x का अधिकतम मान निकालिए। यह 9 जोड़ 16 का वर्गमूल है, यानी 5।
उदाहरण 2. 5 sin squared x जोड़ 3 cos squared x का न्यूनतम मान निकालिए। यह छोटा गुणांक है, यानी 3।
उदाहरण 3. sin x गुणा cos x का अधिकतम मान निकालिए। चूँकि इस गुणनफल का दोगुना sin 2x है, जिसका अधिकतम 1 है, उत्तर आधा है।
उदाहरण 4. 12 sin x घटा 5 cos x का अधिकतम मान निकालिए। यह 144 जोड़ 25 का वर्गमूल है, यानी 13।
उदाहरण 5. sec squared x जोड़ cosec squared x का न्यूनतम मान निकालिए। इनका योग कभी 4 से कम नहीं होता, और यह मान x = 45 डिग्री पर मिलता है।
SSC के दोहराए जाने वाले जाल
✗ 3 sin x + 4 cos x का अधिकतम 7 है | ✓ यह 5 है, यानी root of a squared plus b squared
✗ 5 sin squared x + 3 cos squared x का अधिकतम 8 है | ✓ यह 5 है, यानी बड़ा गुणांक
Pehle dekho ki expression me ratio hai ya uska square. Ratio hai to root wala niyam, square hai to bada-chhota coefficient - dono alag hain.
Exam pointer — इससे ज़्यादा से ज़्यादा 1 सवाल आता है, पर यह पूरी तरह formula पर चलता है, इसलिए दोनों नियम याद हों तो यह 15 सेकंड का अंक है। दोनों गलत उत्तर, यानी गुणांकों का योग और वर्गों का योग, हमेशा विकल्पों में रहते हैं, इसलिए विकल्प देखने से पहले ही पढ़ लीजिए कि व्यंजक वर्ग वाला है या नहीं।
Frequently Asked Questions
a sin x जोड़ b cos x का अधिकतम मान क्या होता है?
यह a squared जोड़ b squared का वर्गमूल होता है, और न्यूनतम उसी का ऋणात्मक। इसलिए 3 sin x जोड़ 4 cos x का परिसर ऋण 5 से 5 तक रहता है।
a sin squared x जोड़ b cos squared x का अधिकतम क्या होता है?
यह बस दोनों गुणांकों में से बड़ा होता है, और न्यूनतम छोटा वाला। 5 sin squared x जोड़ 3 cos squared x के लिए परिसर 3 से 5 तक रहता है।
sin x गुणा cos x का अधिकतम मान क्या है?
यह आधा है, क्योंकि इस गुणनफल का दोगुना sin 2x के बराबर होता है, जिसका सबसे बड़ा मान 1 है। न्यूनतम मान ऋण आधा होता है।
क्या sec x का मान ऋण 1 और 1 के बीच हो सकता है?
नहीं। चूँकि sec, cosine का व्युत्क्रम है और cosine का परिमाण कभी 1 से ऊपर नहीं जाता, इसलिए sec x हमेशा या तो कम से कम 1 होता है या अधिक से अधिक ऋण 1।
60-second recap
- a sin x + b cos x का परिसर धन या ऋण root(a squared + b squared) है।
- a sin squared + b cos squared दोनों गुणांकों के बीच रहता है।
- sin x cos x का अधिकतम आधा होता है।
- sin और cos ऋण 1 से 1 के बीच ही रहते हैं।
- नियम चुनने से पहले वर्ग की जाँच कर लीजिए।
अब इन trigonometry सवालों का अभ्यास ExamAtlas पर मुफ़्त SSC CGL Tier 1 mock test में कीजिए।