Heights and Distances
Heights and Distances
Heights and distances applies trigonometry to a real figure. The angle of elevation is measured upward from the horizontal and the angle of depression downward. Draw the right triangle, mark the known side, and choose the ratio that connects it to the unknown, which is usually tangent.
Which ratio to use
| You know | You want | Use |
|---|---|---|
| Base distance | Height | tan |
| Height | Base distance | cot, or tan rearranged |
| Height | Line of sight | sin |
| Base distance | Line of sight | cos |
The three standard angles
At 45 degrees, height equals base distance
At 60 degrees, height = base x root 3. At 30 degrees, height = base / root 3
These three relations answer most questions without writing any equation. A 45-degree elevation in particular is a gift: the height and the distance are simply equal.
Solved examples
Example 1. The angle of elevation of the top of a tower from a point 20 metres away is 60 degrees. Find the height. It is 20 times root 3 = 20 root 3 metres.
Example 2. From the top of a 60-metre tower, the angle of depression of a boat is 45 degrees. Find the boat's distance from the base. At 45 degrees the distance equals the height, so it is 60 metres.
Example 3. A ladder leans against a wall at 60 degrees and its foot is 5 metres from the wall. Find the ladder's length. Here the base and the hypotenuse are involved, so use cosine: 5 divided by cos 60 = 10 metres.
Example 4. The shadow of a pole is root 3 times its height. Find the sun's angle of elevation. Since tan equals height over shadow, which is 1 over root 3, the angle is 30 degrees.
Example 5. A tower is 100 metres tall. Find the distance from which its top has an elevation of 30 degrees. The distance is 100 times root 3 = 100 root 3 metres.
Traps SSC repeats
✗ The angle of depression is measured from the vertical | ✓ It is measured from the horizontal
✗ A longer shadow means a higher sun | ✓ A longer shadow means a lower angle of elevation
Depression ka kon hamesha kshitij rekha se naapa jaata hai, khadi rekha se nahi. Figure me pehle horizontal line kheencho, phir kon lagao.
Exam pointer — Heights and distances gives about 1 question in Tier 1. The single-triangle version with a 30, 45 or 60 degree angle is a 30-second question. The two-observation version, where the angle changes as the observer moves, needs two equations and takes 70 seconds or more, so under the sectional timer that variant is usually better skipped.
Frequently Asked Questions
What is the difference between angle of elevation and angle of depression?
Both are measured from the horizontal. Elevation is the upward angle to an object above you, and depression is the downward angle to an object below you.
What happens at a 45 degree angle of elevation?
The height and the horizontal distance are equal, since tan 45 is 1. This makes 45 degree questions the fastest in the topic.
How do I find the sun's elevation from a shadow length?
Take the tangent as the height divided by the shadow length. If the shadow is root 3 times the height, the tangent is 1 over root 3 and the angle is 30 degrees.
Which ratio should I use in a height and distance question?
Use tangent when the base distance and the height are involved, sine when the height and the line of sight are involved, and cosine for the base distance and the line of sight.
60-second recap
- Both angles are measured from the horizontal.
- At 45 degrees, height equals distance.
- At 60 degrees, height is root 3 times the base.
- At 30 degrees, height is the base divided by root 3.
- A longer shadow means a smaller elevation angle.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
ऊँचाई और दूरी
ऊँचाई और दूरी में त्रिकोणमिति एक वास्तविक आकृति पर लगती है। उन्नयन कोण क्षितिज से ऊपर की ओर नापा जाता है और अवनमन कोण नीचे की ओर। समकोण त्रिभुज बनाइए, दी हुई भुजा अंकित कीजिए, और वह अनुपात चुनिए जो उसे अज्ञात राशि से जोड़े, जो प्रायः tangent होता है।
कौन सा अनुपात लगाएँ
| आपको पता है | आपको चाहिए | लगाइए |
|---|---|---|
| आधार दूरी | ऊँचाई | tan |
| ऊँचाई | आधार दूरी | cot, या tan को पलटकर |
| ऊँचाई | दृष्टि रेखा | sin |
| आधार दूरी | दृष्टि रेखा | cos |
तीन मानक कोण
45 डिग्री पर ऊँचाई आधार दूरी के बराबर होती है
60 डिग्री पर ऊँचाई = आधार x root 3। 30 डिग्री पर ऊँचाई = आधार / root 3
ये तीन संबंध बिना कोई समीकरण लिखे ज़्यादातर सवाल हल कर देते हैं। 45 डिग्री का उन्नयन कोण तो तोहफा है: ऊँचाई और दूरी बस बराबर होती हैं।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 20 मीटर दूर एक बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60 डिग्री है। ऊँचाई निकालिए। यह 20 गुणा root 3 = 20 root 3 मीटर है।
उदाहरण 2. 60 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष से एक नाव का अवनमन कोण 45 डिग्री है। नाव की आधार से दूरी निकालिए। 45 डिग्री पर दूरी ऊँचाई के बराबर होती है, इसलिए यह 60 मीटर है।
उदाहरण 3. एक सीढ़ी दीवार से 60 डिग्री पर टिकी है और उसका पैर दीवार से 5 मीटर दूर है। सीढ़ी की लंबाई निकालिए। यहाँ आधार और कर्ण दोनों शामिल हैं, इसलिए cosine लगाइए: 5 बटा cos 60 = 10 मीटर।
उदाहरण 4. एक खंभे की छाया उसकी ऊँचाई की root 3 गुना है। सूर्य का उन्नयन कोण निकालिए। चूँकि tan बराबर ऊँचाई बटा छाया होता है, जो 1 बटा root 3 है, कोण 30 डिग्री है।
उदाहरण 5. एक मीनार 100 मीटर ऊँची है। वह दूरी निकालिए जहाँ से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 30 डिग्री बने। दूरी 100 गुणा root 3 = 100 root 3 मीटर है।
SSC के दोहराए जाने वाले जाल
✗ अवनमन कोण खड़ी रेखा से नापा जाता है | ✓ यह क्षितिज रेखा से नापा जाता है
✗ छाया जितनी लंबी, सूर्य उतना ऊँचा | ✓ लंबी छाया का मतलब है उन्नयन कोण छोटा
Depression ka kon hamesha kshitij rekha se naapa jaata hai, khadi rekha se nahi. Figure me pehle horizontal line kheencho, phir kon lagao.
Exam pointer — ऊँचाई और दूरी से Tier 1 में लगभग 1 सवाल आता है। 30, 45 या 60 डिग्री वाले एक त्रिभुज का सवाल 30 सेकंड का होता है। दो प्रेक्षण वाला रूप, जिसमें प्रेक्षक के चलने पर कोण बदलता है, दो समीकरण माँगता है और 70 सेकंड या उससे ज़्यादा लेता है, इसलिए sectional timer में वह रूप आमतौर पर छोड़ देना ही बेहतर है।
Frequently Asked Questions
उन्नयन कोण और अवनमन कोण में क्या अंतर है?
दोनों क्षितिज रेखा से ही नापे जाते हैं। उन्नयन आपके ऊपर स्थित वस्तु तक का ऊपर वाला कोण है, और अवनमन आपके नीचे स्थित वस्तु तक का नीचे वाला कोण है।
45 डिग्री उन्नयन कोण पर क्या होता है?
ऊँचाई और क्षैतिज दूरी बराबर हो जाती हैं, क्योंकि tan 45 का मान 1 है। इसी वजह से 45 डिग्री वाले सवाल इस topic में सबसे तेज़ बनते हैं।
छाया की लंबाई से सूर्य का उन्नयन कोण कैसे निकालें?
tan को ऊँचाई बटा छाया की लंबाई मान लीजिए। अगर छाया ऊँचाई की root 3 गुना है, तो tan 1 बटा root 3 आता है और कोण 30 डिग्री हो जाता है।
ऊँचाई और दूरी के सवाल में कौन सा अनुपात लगाएँ?
जब आधार दूरी और ऊँचाई शामिल हों तो tangent लगाइए, जब ऊँचाई और दृष्टि रेखा शामिल हों तो sine, और आधार दूरी तथा दृष्टि रेखा के लिए cosine लगाइए।
60-second recap
- दोनों कोण क्षितिज रेखा से नापे जाते हैं।
- 45 डिग्री पर ऊँचाई दूरी के बराबर होती है।
- 60 डिग्री पर ऊँचाई आधार की root 3 गुना होती है।
- 30 डिग्री पर ऊँचाई आधार बटा root 3 होती है।
- लंबी छाया का मतलब छोटा उन्नयन कोण।