Mixture and Alligation

Alligation finds the ratio in which two ingredients at different prices or strengths must be mixed to reach a given average. Draw the cross: the ratio of cheaper to dearer equals the difference of dearer and mean, over the difference of mean and cheaper. It replaces a full equation with one subtraction.

The alligation rule

Cheaper : Dearer = (Dearer - Mean) : (Mean - Cheaper)

Write the cheaper value on the left, the dearer on the right, and the mean below the middle. Subtract diagonally. The number that lands under the cheaper side is the quantity of the cheaper item, which is the step candidates reverse most often.

Repeated replacement

When x litres are drawn from a vessel of y litres and replaced by water, repeated n times, the pure liquid left follows a fixed formula.

Liquid left = y x [(y - x)/y] to the power n

Solved examples

Example 1. In what ratio must rice at Rs 30 per kg be mixed with rice at Rs 45 per kg to get a mixture worth Rs 35 per kg? Apply alligation: cheaper to dearer = (45 minus 35) to (35 minus 30) = 10 to 5 = 2 to 1.

Example 2. A milk vendor mixes water with milk costing Rs 60 per litre and sells the mixture at Rs 60 per litre, gaining 25 percent. Find the ratio of water to milk. A 25 percent gain at the same selling price means the cost of the mixture is 60 divided by 1.25 = Rs 48. Now apply alligation between water at Rs 0 and milk at Rs 60 with mean Rs 48: water to milk = (60 minus 48) to (48 minus 0) = 12 to 48 = 1 to 4.

Example 3. A vessel holds 80 litres of milk. 8 litres are removed and replaced with water, and this is done twice. How much milk remains? Apply the formula: 80 times (72/80) squared = 80 times 0.81 = 64.8 litres.

Example 4. Two alloys contain copper and zinc in the ratios 5 to 3 and 5 to 11. In what ratio must they be mixed to get an alloy with copper and zinc in the ratio 5 to 7? Convert to copper fractions: 5/8, 5/16 and mean 5/12. Alligation gives (5/12 minus 5/16) to (5/8 minus 5/12) = (5/48) to (5/24) = 1 to 2.

Traps SSC repeats

✗ The left difference gives the cheaper quantity  |  ✓ The left difference is dearer minus mean, and it belongs to the cheaper item

✗ Replacement is 80 minus 8 minus 8  |  ✓ Replacement is multiplicative, not subtractive

Frequently Asked Questions

What is the alligation rule?

The ratio of the cheaper quantity to the dearer quantity equals the difference between the dearer value and the mean, divided by the difference between the mean and the cheaper value. It works for prices, concentrations and speeds.

What is the formula for repeated replacement?

If x units are removed from y units and replaced each time, after n operations the original liquid left is y multiplied by the fraction y minus x over y, raised to the power n.

Can alligation be used for averages and speeds?

Yes. Any quantity that mixes as a weighted average works, including average marks, average speed over two stretches and average age of two groups.

Which side of the alligation cross gives the cheaper quantity?

The difference computed on the cheaper side, which is dearer minus mean, is the quantity of the cheaper ingredient. Reading this the wrong way round is the most common error in the topic.

मिश्रण और सम्मिश्रण

Alligation बताता है कि अलग-अलग कीमत या strength वाले दो ingredients किस ratio में मिलाए जाएँ ताकि दिया हुआ average मिले। Cross बनाओ: cheaper और dearer का ratio बराबर है dearer minus mean का, mean minus cheaper से। यह पूरे equation की जगह एक घटाव से काम चला देता है।

Alligation का नियम

Cheaper : Dearer = (Dearer - Mean) : (Mean - Cheaper)

Cheaper मान बाईं तरफ, dearer दाईं तरफ और mean नीचे बीच में लिखो। तिरछा घटाओ। जो संख्या cheaper वाली तरफ नीचे आती है वही cheaper item की मात्रा है, और यही वह step है जिसे उम्मीदवार सबसे ज़्यादा उलटा पढ़ जाते हैं।

बार-बार replacement

जब y लीटर के बर्तन में से x लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाए और यह n बार दोहराया जाए, तो बचा हुआ शुद्ध द्रव एक तय formula से निकलता है।

Liquid left = y x [(y - x)/y] to the power n

हल किए हुए उदाहरण

Example 1. Rs 30 प्रति kg वाले चावल को Rs 45 प्रति kg वाले चावल के साथ किस ratio में मिलाएँ कि मिश्रण Rs 35 प्रति kg का बने? Alligation लगाओ: cheaper to dearer = (45 minus 35) to (35 minus 30) = 10 to 5 = 2 to 1।

Example 2. एक दूधवाला Rs 60 प्रति लीटर वाले दूध में पानी मिलाकर मिश्रण Rs 60 प्रति लीटर बेचता है और 25 percent मुनाफ़ा कमाता है। पानी और दूध का ratio निकालो। एक ही selling price पर 25 percent मुनाफ़े का मतलब है मिश्रण की लागत 60 divided by 1.25 = Rs 48। अब पानी Rs 0 और दूध Rs 60 के बीच mean Rs 48 पर alligation लगाओ: पानी to दूध = (60 minus 48) to (48 minus 0) = 12 to 48 = 1 to 4।

Example 3. एक बर्तन में 80 लीटर दूध है। 8 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और ऐसा दो बार किया जाता है। कितना दूध बचा? Formula लगाओ: 80 times (72/80) squared = 80 times 0.81 = 64.8 लीटर।

Example 4. दो alloys में copper और zinc 5 to 3 और 5 to 11 के ratio में हैं। इन्हें किस ratio में मिलाएँ कि नए alloy में copper और zinc 5 to 7 के ratio में हों? Copper के fraction में बदलो: 5/8, 5/16 और mean 5/12। Alligation से (5/12 minus 5/16) to (5/8 minus 5/12) = (5/48) to (5/24) = 1 to 2।

SSC जो traps दोहराता है

✗ बाईं तरफ का अंतर cheaper की मात्रा देता है  |  ✓ बाईं तरफ का अंतर dearer minus mean है, और वह cheaper item का होता है

✗ Replacement यानी 80 minus 8 minus 8  |  ✓ Replacement गुणा से चलता है, घटाव से नहीं

Frequently Asked Questions

Alligation का नियम क्या है?

Cheaper मात्रा और dearer मात्रा का ratio बराबर होता है dearer मान और mean के अंतर का, mean और cheaper मान के अंतर से भाग देने पर। यह कीमत, concentration और speed तीनों पर काम करता है।

बार-बार replacement का formula क्या है?

अगर y इकाइयों में से हर बार x इकाई निकालकर उतना ही डाला जाए, तो n बार के बाद बचा हुआ मूल द्रव y गुणा y minus x over y की power n होता है।

क्या alligation average और speed पर भी लगता है?

हाँ। जो भी मात्रा weighted average की तरह मिलती है उस पर यह चलता है, जैसे average marks, दो हिस्सों की average speed और दो समूहों की average उम्र।

Alligation cross की कौन सी तरफ cheaper मात्रा देती है?

Cheaper वाली तरफ निकला अंतर, यानी dearer minus mean, cheaper ingredient की मात्रा होता है। इसे उल्टा पढ़ लेना इस topic की सबसे आम गलती है।