LCM and HCF

HCF is the largest number that divides all the given numbers; LCM is the smallest number divisible by all of them. The one rule that unlocks most SSC questions is that for any two numbers, HCF times LCM equals the product of the numbers. Word problems reduce to deciding which of the two you need.

Finding both by prime factorisation

Break each number into prime factors. For HCF take the lowest power of every common prime. For LCM take the highest power of every prime that appears anywhere.

HCF x LCM = first number x second number (two numbers only)

Which one does the question want?

The three formulas SSC loves

HCF of fractions = HCF of numerators / LCM of denominators

LCM of fractions = LCM of numerators / HCF of denominators

Same remainder left in every case: take HCF of the differences

Solved examples

Example 1. Find the HCF and LCM of 108 and 144. Factorise: 108 is 2 squared times 3 cubed, and 144 is 2 to the fourth times 3 squared. HCF takes the lowest powers, giving 4 times 9 = 36. LCM takes the highest powers, giving 16 times 27 = 432. Check: 36 times 432 = 15552, and 108 times 144 = 15552, so the answer is consistent.

Example 2. Six bells ring at intervals of 2, 4, 6, 8, 10 and 12 seconds. They start together. How many times do they ring together in 30 minutes? The LCM of those intervals is 120 seconds. In 1800 seconds, 1800 divided by 120 gives 15, and adding the start gives 16 times.

Example 3. Find the greatest number that divides 62, 132 and 237, leaving the same remainder each time. Take differences: 132 minus 62 is 70, 237 minus 132 is 105, and 237 minus 62 is 175. The HCF of 70, 105 and 175 is 35.

Traps SSC repeats

✗ Use HCF x LCM = product for three numbers  |  ✓ That rule holds for two numbers only

✗ HCF of fractions uses LCM of numerators  |  ✓ HCF of fractions uses HCF of numerators

Frequently Asked Questions

What is the relation between HCF and LCM?

For any two numbers, HCF multiplied by LCM equals the product of the two numbers. This lets you find the fourth quantity when any three are known. The rule does not extend to three or more numbers.

How do I know whether a word problem needs LCM or HCF?

If something is being divided into the largest possible equal groups or measured by the greatest common unit, use HCF. If events repeat and you are waiting for them to coincide, use LCM.

How do I find the greatest number that leaves the same remainder?

Take the differences between the given numbers in pairs and find the HCF of those differences. The unknown remainder cancels out when you subtract, which is why this works.

What is the LCM of two co-prime numbers?

It is simply their product, because co-prime numbers share no common factor. Their HCF is 1, so by the product rule the LCM equals the product.

LCM और HCF

HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी हुई सभी संख्याओं को विभाजित करती है; LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो उन सबसे विभाज्य हो। SSC के ज़्यादातर सवाल एक ही नियम से खुल जाते हैं: किन्हीं दो संख्याओं के लिए HCF गुणा LCM उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। Word problems सिर्फ़ यह तय करने पर आ जाते हैं कि दोनों में से कौन सा चाहिए।

Prime factorisation से दोनों निकालना

हर संख्या को prime factors में तोड़ो। HCF के लिए हर common prime की सबसे छोटी power लो। LCM के लिए हर उस prime की सबसे बड़ी power लो जो कहीं भी दिखे।

HCF x LCM = पहली संख्या x दूसरी संख्या (सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए)

सवाल दोनों में से क्या माँग रहा है?

तीन formulas जो SSC को बहुत पसंद हैं

भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM

भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

हर बार एक ही शेषफल बचे: अंतरों का HCF लो

हल किए हुए उदाहरण

Example 1. 108 और 144 का HCF और LCM निकालो। Factorise करो: 108 है 2 का वर्ग गुणा 3 का घन, और 144 है 2 की चौथी power गुणा 3 का वर्ग। HCF सबसे छोटी powers लेता है, यानी 4 गुणा 9 = 36. LCM सबसे बड़ी powers लेता है, यानी 16 गुणा 27 = 432. जाँच: 36 गुणा 432 = 15552, और 108 गुणा 144 = 15552, तो उत्तर सही बैठता है।

Example 2. छह घंटियाँ 2, 4, 6, 8, 10 और 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। वे साथ शुरू होती हैं। 30 मिनट में वे कितनी बार साथ बजेंगी? इन अंतरालों का LCM 120 सेकंड है। 1800 सेकंड में 1800 भाग 120 से 15 आता है, और शुरुआत जोड़ने पर 16 बार.

Example 3. वह सबसे बड़ी संख्या निकालो जो 62, 132 और 237 को बाँटने पर हर बार एक ही शेषफल छोड़े। अंतर लो: 132 घटा 62 है 70, 237 घटा 132 है 105, और 237 घटा 62 है 175. 70, 105 और 175 का HCF है 35.

वे traps जो SSC दोहराता है

✗ तीन संख्याओं पर HCF x LCM = गुणनफल लगाना  |  ✓ यह नियम सिर्फ़ दो संख्याओं पर लागू होता है

✗ भिन्नों का HCF अंशों का LCM लेता है  |  ✓ भिन्नों का HCF अंशों का HCF लेता है

Frequently Asked Questions

HCF और LCM में क्या संबंध है?

किन्हीं दो संख्याओं के लिए HCF गुणा LCM उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इससे तीन राशियाँ पता होने पर चौथी निकल आती है। ध्यान रखो, यह नियम तीन या उससे ज़्यादा संख्याओं पर लागू नहीं होता।

कैसे पता करूँ कि word problem में LCM चाहिए या HCF?

अगर किसी चीज़ को सबसे बड़े बराबर समूहों में बाँटा जा रहा है या सबसे बड़ी common इकाई से नापा जा रहा है, तो HCF लो। अगर घटनाएँ बार-बार दोहरा रही हैं और तुम उनके एक साथ आने का इंतज़ार कर रहे हो, तो LCM लो।

समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या कैसे निकालूँ?

दी हुई संख्याओं के जोड़े बनाकर उनके अंतर निकालो, फिर उन अंतरों का HCF ले लो। घटाने पर अनजान शेषफल आपस में कट जाता है, और यही वजह है कि यह तरीका हर बार सही उत्तर देता है।

दो co-prime संख्याओं का LCM क्या होता है?

वह बस उनका गुणनफल होता है, क्योंकि co-prime संख्याओं का कोई common factor नहीं होता। उनका HCF 1 होता है, इसलिए गुणनफल वाले नियम से LCM सीधे उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर आ जाता है।