Remainder Theorem

Remainder questions ask what is left when a huge power is divided by a small number. You never compute the power. Instead you reduce the base to a small remainder, use negative remainders when the base is just below the divisor, and find the cycle length of the powers. Most questions then collapse to one line.

Step one: reduce the base

Replace the base by its remainder with the divisor before doing anything else. If 17 is divided by 16, the base becomes 1, and 1 raised to any power stays 1.

Reduce base first, then handle the power

Step two: use negative remainders

When the base is one less than the divisor, treat it as minus 1. A minus 1 raised to an even power is 1, and to an odd power is minus 1, which means a remainder of divisor minus 1.

If base = divisor - 1, use -1: even power gives 1, odd power gives divisor - 1

Step three: find the cycle

If neither shortcut applies, compute small powers of the base until the remainder returns to 1. That gap is the cycle length. Divide the exponent by the cycle length and use only the leftover.

Fermat's little theorem

If p is prime and base is not a multiple of p, base to the power (p - 1) leaves remainder 1

Solved examples

Example 1. Find the remainder when 17 to the power 23 is divided by 16. Reduce the base: 17 leaves 1, so the whole expression leaves 1.

Example 2. Find the remainder when 2 to the power 51 is divided by 7. Note that 2 cubed is 8, which leaves 1 on division by 7. Since 51 is 3 times 17, the expression is 8 to the power 17, which leaves 1.

Example 3. Find the remainder when 5 to the power 99 is divided by 13. Build the cycle: 5 gives 5, 5 squared is 25 giving 12, 5 cubed gives 8, and 5 to the fourth gives 1. The cycle length is 4. Now 99 divided by 4 leaves 3, so the answer matches 5 cubed, which is 8.

Example 4. Find the remainder when 15 to the power 40 is divided by 41. Here 41 is prime and 15 is not a multiple of it, so by Fermat's theorem the remainder is 1.

Traps SSC repeats

✗ Remainder of -1 means the answer is -1  |  ✓ A remainder of -1 means divisor minus 1

✗ Cycle leftover 0 means the answer is 0  |  ✓ Leftover 0 means use the full cycle, giving remainder 1

Frequently Asked Questions

How do I find the remainder of a large power quickly?

First reduce the base to its remainder with the divisor. Then check whether the reduced base is 1 or divisor minus 1. If not, find the cycle length by computing small powers, and use only the leftover of the exponent.

What is the negative remainder trick?

When the base is one less than the divisor, treat the base as minus 1. An even power gives remainder 1 and an odd power gives remainder equal to divisor minus 1. It converts long calculations into one step.

When can I use Fermat's little theorem in SSC?

Use it when the divisor is a prime number p and the exponent is a multiple of p minus 1. The remainder is then 1, provided the base is not itself a multiple of p.

What does a cycle length mean here?

It is the smallest power at which the remainder returns to 1. Once you know it, divide the actual exponent by the cycle length and work only with the leftover, since the pattern repeats after that.

शेषफल प्रमेय

शेषफल के सवाल पूछते हैं कि किसी बड़ी power को छोटी संख्या से भाग देने पर क्या बचता है। तुम्हें वह power कभी निकालनी नहीं है। इसके बजाय base को छोटे शेषफल में बदलो, जब base भाजक से ठीक एक कम हो तो negative remainder लगाओ, और powers की cycle length निकालो। इसके बाद ज़्यादातर सवाल एक ही लाइन में सिमट जाते हैं।

पहला कदम: base को छोटा करो

कुछ भी करने से पहले base को भाजक के साथ उसके शेषफल से बदल दो। अगर 17 को 16 से भाग दिया जाए तो base 1 बन जाता है, और 1 को किसी भी power पर उठाओ, वह 1 ही रहता है।

पहले base छोटा करो, फिर power को संभालो

दूसरा कदम: negative remainder लगाओ

जब base भाजक से एक कम हो, तो उसे minus 1 मान लो। Minus 1 को even power पर उठाने से 1 आता है, और odd power पर minus 1, जिसका मतलब है शेषफल भाजक घटा 1.

अगर base = divisor - 1, तो -1 लो: even power पर 1, odd power पर divisor - 1

तीसरा कदम: cycle निकालो

अगर दोनों में से कोई shortcut न लगे, तो base की छोटी powers तब तक निकालो जब तक शेषफल लौटकर 1 न हो जाए। वही अंतराल cycle length है। Exponent को cycle length से भाग दो और सिर्फ़ बचे हुए शेष का इस्तेमाल करो।

Fermat's little theorem का इस्तेमाल

अगर p prime है और base, p का गुणज नहीं है, तो base की power (p - 1) पर शेषफल 1 बचता है

हल किए हुए उदाहरण

Example 1. 17 की power 23 को 16 से भाग देने पर शेषफल निकालो। Base छोटा करो: 17 पर 1 बचता है, इसलिए पूरा व्यंजक 1 छोड़ता है।

Example 2. 2 की power 51 को 7 से भाग देने पर शेषफल निकालो। ध्यान दो कि 2 का घन 8 है, जो 7 से भाग देने पर 1 छोड़ता है। चूँकि 51 है 3 गुणा 17, इसलिए व्यंजक 8 की power 17 बन जाता है, जो 1 छोड़ता है।

Example 3. 5 की power 99 को 13 से भाग देने पर शेषफल निकालो। Cycle बनाओ: 5 देता है 5, 5 का वर्ग 25 है जो 12 देता है, 5 का घन 8 देता है, और 5 की चौथी power 1 देती है। Cycle length 4 है। अब 99 भाग 4 पर शेष 3 बचता है, इसलिए उत्तर 5 के घन जैसा है, यानी 8.

Example 4. 15 की power 40 को 41 से भाग देने पर शेषफल निकालो। यहाँ 41 prime है और 15 उसका गुणज नहीं है, इसलिए Fermat's theorem से शेषफल 1 है।

वे traps जो SSC दोहराता है

✗ शेषफल -1 का मतलब उत्तर -1 है  |  ✓ शेषफल -1 का मतलब है भाजक घटा 1

✗ Cycle का शेष 0 मतलब उत्तर 0 है  |  ✓ शेष 0 मतलब पूरी cycle लो, जिससे शेषफल 1 आता है

Frequently Asked Questions

बड़ी power का शेषफल तेज़ी से कैसे निकालूँ?

सबसे पहले base को भाजक के साथ उसके शेषफल तक छोटा करो। फिर देखो कि छोटा किया गया base 1 है या भाजक घटा 1. अगर दोनों नहीं है, तो छोटी powers निकालकर cycle length पता करो और exponent के सिर्फ़ बचे हुए शेष का इस्तेमाल करो।

Negative remainder वाली trick क्या है?

जब base भाजक से एक कम हो, तो base को minus 1 मान लो। Even power पर शेषफल 1 आता है और odd power पर शेषफल भाजक घटा 1 के बराबर आता है। यह trick लंबी गणना को एक ही कदम में बदल देती है।

SSC में Fermat's little theorem कब लगाऊँ?

इसे तब लगाओ जब भाजक कोई prime संख्या p हो और exponent, p घटा 1 का गुणज हो। ऐसी स्थिति में शेषफल 1 होता है, बशर्ते base खुद p का गुणज न हो। यह शर्त जाँचना मत भूलो।

यहाँ cycle length का क्या मतलब है?

यह वह सबसे छोटी power है जिस पर शेषफल लौटकर 1 हो जाता है। एक बार यह पता चल जाए, तो असली exponent को cycle length से भाग दो और सिर्फ़ बचे हुए शेष के साथ काम करो, क्योंकि उसके बाद पैटर्न दोहराता रहता है।