Installments

An installment question asks what equal yearly payment clears a debt. Each installment must be discounted back to today before adding, because money paid later is worth less. Under compound interest, divide each installment by the growth factor for the years it is delayed, then sum.

The present value idea

Under CI: P = x/(1 + R/100) + x/(1 + R/100) squared + ... for each installment

The installment paid at the end of year one is divided once, the one paid at the end of year two is divided twice, and so on. Adding these discounted values must equal the original sum borrowed.

Under simple interest

Simple interest installments do not compound, so each installment earns interest for the years it is held rather than being divided by a power.

Under SI: total repaid = x x n, and the interest accrues only on the outstanding balance

Solved examples

Example 1. A sum of Rs 2550 is to be repaid in two equal annual installments at 4 percent compound interest. Find each installment. Let the installment be x. Then x divided by 1.04 plus x divided by 1.04 squared equals 2550. Since 1.04 is twenty-six over twenty-five, this becomes x times 1275 over 676 = 2550, so x = Rs 1352.

Example 2. What sum can be repaid in two annual installments of Rs 882 each at 5 percent compound interest? Discount each: 882 divided by 1.05 = 840, and 882 divided by 1.1025 = 800. The sum is 840 plus 800 = Rs 1640.

Example 3. A sum of Rs 8400 is repaid in two equal annual installments at 10 percent simple interest. Find each installment. The amount owed after 2 years is 8400 times 1.2, which is 10080. The first installment earns interest for one more year, so 1.1x plus x equals 10080. That gives 2.1x = 10080, so each installment is Rs 4800.

Traps SSC repeats

✗ Two installments of x clear a loan of 2x  |  ✓ They clear less, because later money is discounted

✗ Discount every installment by the same factor  |  ✓ Each is discounted by a different power

Frequently Asked Questions

How do I calculate equal annual installments under compound interest?

Divide each installment by one plus the rate over 100, raised to the number of years until that payment. Add these discounted values and set the total equal to the sum borrowed.

Why is each installment divided by a different power?

Because the installments are paid at different times. Money paid two years from now is discounted twice, while money paid after one year is discounted only once.

Is the installment method different under simple interest?

Yes. Under simple interest there is no compounding, so interest accrues only on the outstanding balance rather than the payments being divided by powers of a growth factor.

Is this topic worth preparing for SSC CGL?

It appears rarely and takes longer than most Quant questions, so learn the two-installment compound method for completeness but plan to skip it under the sectional timer.

Now practise these interest and installment questions in the free SSC CGL Tier 1 mock test on ExamAtlas.

किस्तें (Installments)

Installment वाला सवाल पूछता है कि कर्ज़ चुकाने के लिए हर साल कितनी बराबर किस्त देनी होगी। हर किस्त को जोड़ने से पहले आज की कीमत पर लाना पड़ता है, क्योंकि बाद में दिया गया पैसा कम कीमत रखता है। चक्रवृद्धि ब्याज में हर किस्त को उतने साल के growth factor से भाग दीजिए जितनी देर बाद वह दी जा रही है, फिर सबको जोड़ दीजिए।

Present value का विचार

CI में: P = x/(1 + R/100) + x/(1 + R/100) का square + ... हर किस्त के लिए

पहले साल के अंत में दी गई किस्त एक बार भाग होती है, दूसरे साल के अंत वाली दो बार, और इसी तरह आगे। इन सभी discounted कीमतों का जोड़ उधार ली गई मूल राशि के बराबर होना चाहिए।

साधारण ब्याज में

साधारण ब्याज की किस्तों में compounding नहीं होती, इसलिए हर किस्त को power से भाग देने की जगह वह जितने साल रखी जाती है उतने साल का ब्याज कमाती है।

SI में: कुल चुकाई गई राशि = x x n, और ब्याज सिर्फ़ बकाया balance पर बनता है

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. Rs 2550 की राशि 4 percent चक्रवृद्धि ब्याज पर दो बराबर सालाना किस्तों में चुकानी है। हर किस्त निकालिए। मान लीजिए किस्त x है। तब x भाग 1.04 जोड़ x भाग 1.04 का square बराबर 2550। चूँकि 1.04 यानी छब्बीस बटा पच्चीस है, यह बनता है x गुणा 1275 बटा 676 = 2550, इसलिए x = Rs 1352।

उदाहरण 2. 5 percent चक्रवृद्धि ब्याज पर Rs 882 की दो सालाना किस्तों में कितनी राशि चुकाई जा सकती है? हर एक को discount कीजिए: 882 भाग 1.05 = 840, और 882 भाग 1.1025 = 800। राशि है 840 जोड़ 800 = Rs 1640।

उदाहरण 3. Rs 8400 की राशि 10 percent साधारण ब्याज पर दो बराबर सालाना किस्तों में चुकाई जाती है। हर किस्त निकालिए। 2 साल बाद बकाया amount है 8400 गुणा 1.2, यानी 10080। पहली किस्त एक साल ज़्यादा ब्याज कमाती है, इसलिए 1.1x जोड़ x बराबर 10080। इससे 2.1x = 10080, यानी हर किस्त Rs 4800 है।

SSC बार-बार दोहराता है ये ट्रैप

✗ x की दो किस्तें 2x का कर्ज़ चुका देती हैं  |  ✓ वे इससे कम चुकाती हैं, क्योंकि बाद का पैसा discount होता है

✗ हर किस्त को एक ही factor से discount कीजिए  |  ✓ हर किस्त अलग power से discount होती है

Frequently Asked Questions

चक्रवृद्धि ब्याज में बराबर सालाना किस्तें कैसे निकालें?

हर किस्त को एक जोड़ दर बटा 100 से भाग दीजिए, जिसकी power उस भुगतान तक के सालों की संख्या हो। इन discounted कीमतों को जोड़िए और कुल को उधार ली गई राशि के बराबर रख दीजिए।

हर किस्त को अलग power से भाग क्यों देते हैं?

क्योंकि किस्तें अलग-अलग समय पर दी जाती हैं। दो साल बाद दिया गया पैसा दो बार discount होता है, जबकि एक साल बाद दिया गया पैसा सिर्फ़ एक बार discount होता है।

साधारण ब्याज में किस्त का तरीका अलग होता है क्या?

हाँ। साधारण ब्याज में compounding नहीं होती, इसलिए ब्याज सिर्फ़ बकाया balance पर बनता है, न कि किस्तों को growth factor की power से भाग दिया जाता है।

क्या SSC CGL के लिए यह टॉपिक तैयार करना ज़रूरी है?

यह बहुत कम आता है और बाकी Quant सवालों से ज़्यादा समय लेता है, इसलिए पूरा करने के लिए दो किस्तों वाला compound तरीका सीख लीजिए, पर sectional घड़ी में इसे छोड़ने की योजना रखिए।

अब इन interest और installment के सवालों का अभ्यास ExamAtlas पर मुफ़्त SSC CGL Tier 1 mock test में कीजिए।