Volume of Solids
Volume of Solids
Volume measures the space a solid occupies. The formulas worth memorising are pi r squared h for a cylinder, one-third of that for a cone, and four-thirds pi r cubed for a sphere. Most SSC questions melt one solid into another, where the volume stays constant.
The formula sheet
| Solid | Volume | Relation worth noting |
|---|---|---|
| Cube | a cubed | Edge from volume by cube root |
| Cuboid | l x b x h | Three dimensions |
| Cylinder | pi r squared h | Base area times height |
| Cone | (1/3) pi r squared h | One third of the cylinder |
| Sphere | (4/3) pi r cubed | No height involved |
| Hemisphere | (2/3) pi r cubed | Half a sphere |
For the same radius and height, cone, hemisphere and cylinder volumes are in the ratio 1 to 2 to 3. This is a one-line answer to a question SSC repeats.
Melting and recasting
Volume before = volume after; surface area is not conserved
When a solid is melted and recast, only the volume carries over. Candidates who equate surface areas instead get a plausible but wrong answer, which SSC places among the options.
Solved examples
Example 1. Find the volume of a cylinder with radius 7 and height 10, taking pi as 22 over 7. It is 22 over 7 times 49 times 10 = 1540 cubic units.
Example 2. Find the volume of a sphere of radius 21, with pi as 22 over 7. Four-thirds times 22 over 7 times 9261 = 38808 cubic units.
Example 3. A cone of radius 3 and height 4 has what volume? One-third times pi times 9 times 4 = 12 pi cubic units.
Example 4. A metallic sphere of radius 6 is melted and recast into small spheres of radius 2. How many are formed? Volumes scale as the cube of the radius, so the ratio is 3 cubed = 27 spheres.
Example 5. A cuboid 12 by 8 by 6 is melted into cubes of edge 2. How many cubes are formed? The volume is 576 and each cube is 8, so the answer is 72 cubes.
Traps SSC repeats
✗ Melting conserves the surface area | ✓ It conserves only the volume
✗ Doubling the radius doubles the volume of a sphere | ✓ It multiplies the volume by 8
Pighalane wale sawaal me sirf aayatan barabar rahta hai. Surface area badal jaata hai - use kabhi barabar mat rakho.
Exam pointer — Volume gives 1 to 2 questions and the melting type is by far the most common. Once you see that only volume is conserved, these become 30-second questions, often solvable by a cube-of-the-ratio shortcut without computing either volume. Keep pi as 22 over 7 whenever the radius is a multiple of 7.
Frequently Asked Questions
What is conserved when a solid is melted and recast?
Only the volume. The surface area changes completely, so equating surface areas gives a wrong answer even though the arithmetic looks reasonable.
What is the ratio of the volumes of a cone, hemisphere and cylinder?
For the same radius and height it is 1 to 2 to 3. This lets you answer comparison questions without calculating any individual volume.
How many small spheres come from melting a large one?
As many as the cube of the ratio of the radii. A sphere of radius 6 melted into spheres of radius 2 gives 3 cubed, which is 27 spheres.
What happens to the volume of a sphere if the radius doubles?
It becomes eight times as large, because volume scales as the cube of the radius. The surface area, by contrast, becomes four times as large.
60-second recap
- Cylinder pi r squared h; cone is one third of it.
- Sphere is four-thirds pi r cubed; hemisphere is half of that.
- Cone, hemisphere and cylinder volumes are 1 : 2 : 3.
- Melting conserves volume only.
- Doubling the radius makes a sphere eight times as large.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
ठोसों का आयतन
आयतन बताता है कि ठोस कितनी जगह घेरता है। याद रखने लायक formula हैं — बेलन के लिए pi r squared h, शंकु के लिए उसका एक-तिहाई, और गोले के लिए चार-तिहाई pi r cubed। SSC के ज़्यादातर सवाल एक ठोस को पिघलाकर दूसरा बनाते हैं, जहाँ आयतन वही रहता है।
सभी formula एक जगह
| ठोस | आयतन | ध्यान देने लायक संबंध |
|---|---|---|
| घन | a cubed | आयतन से किनारा घनमूल लेकर |
| घनाभ | l x b x h | तीन माप |
| बेलन | pi r squared h | आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई |
| शंकु | (1/3) pi r squared h | बेलन का एक-तिहाई |
| गोला | (4/3) pi r cubed | ऊँचाई लगती ही नहीं |
| अर्धगोला | (2/3) pi r cubed | गोले का आधा |
एक ही त्रिज्या और ऊँचाई पर शंकु, अर्धगोले और बेलन के आयतन का अनुपात 1 : 2 : 3 होता है। SSC इस सवाल को बार-बार पूछता है और यह एक लाइन का उत्तर है।
पिघलाना और दोबारा ढालना
पहले का आयतन = बाद का आयतन; पृष्ठीय क्षेत्रफल सुरक्षित नहीं रहता
जब कोई ठोस पिघलाकर दोबारा ढाला जाता है, तो सिर्फ आयतन आगे जाता है। जो उम्मीदवार इसकी जगह पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर रख देते हैं, उन्हें दिखने में सही पर गलत उत्तर मिलता है, और SSC वही मान options में रख देता है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 7 त्रिज्या और 10 ऊँचाई वाले बेलन का आयतन निकालिए, pi को 22/7 लीजिए। यह 22/7 गुणा 49 गुणा 10 = 1540 घन इकाई है।
उदाहरण 2. 21 त्रिज्या वाले गोले का आयतन निकालिए, pi को 22/7 लेकर। चार-तिहाई गुणा 22/7 गुणा 9261 = 38808 घन इकाई।
उदाहरण 3. 3 त्रिज्या और 4 ऊँचाई वाले शंकु का आयतन कितना होगा? एक-तिहाई गुणा pi गुणा 9 गुणा 4 = 12 pi घन इकाई।
उदाहरण 4. 6 त्रिज्या वाला धातु का गोला पिघलाकर 2 त्रिज्या वाले छोटे गोले बनाए गए। कितने बनेंगे? आयतन त्रिज्या के घन के अनुपात में बदलता है, तो अनुपात 3 cubed = 27 गोले।
उदाहरण 5. 12 गुणा 8 गुणा 6 का घनाभ पिघलाकर 2 किनारे वाले घन बनाए गए। कितने घन बनेंगे? आयतन 576 है और हर घन 8 का, तो उत्तर 72 घन है।
SSC के दोहराए जाने वाले जाल
✗ पिघलाने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल वही रहता है | ✓ सिर्फ आयतन वही रहता है
✗ त्रिज्या दोगुनी करने पर गोले का आयतन दोगुना हो जाता है | ✓ आयतन 8 गुना हो जाता है
Pighalane wale sawaal me sirf aayatan barabar rahta hai. Surface area badal jaata hai - use kabhi barabar mat rakho.
Exam pointer — आयतन से 1 से 2 सवाल आते हैं और उनमें पिघलाने वाला रूप सबसे आम है। जैसे ही यह दिखे कि सिर्फ आयतन सुरक्षित रहता है, ये 30 सेकंड के सवाल बन जाते हैं और अक्सर अनुपात के घन वाले shortcut से बिना कोई आयतन निकाले हल हो जाते हैं। जब भी त्रिज्या 7 का गुणज हो, pi को 22/7 ही रखिए।
Frequently Asked Questions
ठोस पिघलाकर दोबारा ढालने पर क्या सुरक्षित रहता है?
सिर्फ आयतन। पृष्ठीय क्षेत्रफल पूरी तरह बदल जाता है, इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर रखने पर उत्तर गलत आता है, भले ही गणित देखने में ठीक-ठाक लगे।
शंकु, अर्धगोले और बेलन के आयतन का अनुपात क्या है?
एक ही त्रिज्या और ऊँचाई पर यह 1 : 2 : 3 होता है। इसी से तुलना वाले सवाल बिना कोई अलग आयतन निकाले हल हो जाते हैं, जो परीक्षा में काफी समय बचाता है।
बड़े गोले को पिघलाने पर कितने छोटे गोले बनते हैं?
त्रिज्याओं के अनुपात के घन के बराबर। 6 त्रिज्या वाला गोला पिघलाकर 2 त्रिज्या वाले गोले बनाने पर 3 cubed, यानी 27 गोले बनते हैं।
त्रिज्या दोगुनी हो जाए तो गोले के आयतन का क्या होता है?
वह आठ गुना हो जाता है, क्योंकि आयतन त्रिज्या के घन के अनुपात में बदलता है। इसके उलट पृष्ठीय क्षेत्रफल सिर्फ चार गुना होता है, क्योंकि वह वर्ग के अनुपात में बदलता है।
60-second recap
- बेलन pi r squared h; शंकु उसका एक-तिहाई।
- गोला चार-तिहाई pi r cubed; अर्धगोला उसका आधा।
- शंकु, अर्धगोला और बेलन के आयतन 1 : 2 : 3।
- पिघलाने पर सिर्फ आयतन सुरक्षित रहता है।
- त्रिज्या दोगुनी होने पर गोला आठ गुना बड़ा।