Perimeter and Diagonals
Perimeter and Diagonals
Perimeter is the boundary length and the diagonal is the straight line across a figure. The rule worth memorising above all is the scaling rule: if every length is multiplied by k, the perimeter multiplies by k but the area multiplies by k squared.
Perimeter and diagonal formulas
| Figure | Perimeter | Diagonal |
|---|---|---|
| Square | 4 x side | side x root 2 |
| Rectangle | 2 x (l + b) | root of l squared plus b squared |
| Circle | 2 pi r | Diameter, 2r |
| Equilateral triangle | 3 x side | No diagonal |
| Rhombus | 4 x side | d1 and d2, meeting at 90 |
The scaling rule
Lengths multiplied by k: perimeter x k, area x k squared, volume x k cubed
A 20 percent rise in the side of a square raises the perimeter by 20 percent but the area by 44 percent, because 1.2 squared is 1.44. SSC asks the area version much more often than the perimeter one.
Paths and borders
For a path of width w running outside a rectangle, the outer dimensions each grow by twice the width. For a path inside, they shrink by twice the width.
Area of the path = outer area - inner area
Solved examples
Example 1. Find the diagonal of a rectangle 9 by 12. It is the root of 81 plus 144 = the root of 225 = 15 units.
Example 2. If each side of a square is increased by 20 percent, by what percent does the area increase? Area scales by 1.2 squared, which is 1.44, so the increase is 44 percent.
Example 3. A rectangular park 40 by 30 metres has a 2-metre-wide path around the outside. Find the area of the path. The outer rectangle is 44 by 34, giving 1496 square metres, and the inner is 1200, so the path is 296 square metres.
Example 4. The perimeter of a square equals the circumference of a circle of radius 14. Find the side of the square. The circumference is 88, so the side is 88 divided by 4 = 22 units.
Example 5. The diagonal of a square is 10 root 2. Find its area. The side is 10, so the area is 100 square units.
Traps SSC repeats
✗ Increasing the side by 20% increases the area by 20% | ✓ The area rises by 44%
✗ A 2 m path adds 2 m to each dimension | ✓ It adds 2 m on both sides, so 4 m in total
Path wale sawaal me chaudai dono taraf judti hai. 2 metre ka rasta har dimension me 4 metre jodta hai - yahi galti sabse zyada hoti hai.
Exam pointer — Perimeter and diagonal questions appear as about 1 question, often disguised as a percentage change in area. That version is a 20-second question with the scaling rule and a 60-second one without it. Path and border questions are slower and best kept for the second pass in the section.
Frequently Asked Questions
If the side of a square increases by 20 percent, how much does the area increase?
By 44 percent. Area scales as the square of the length, so multiplying the side by 1.2 multiplies the area by 1.44.
What is the diagonal of a rectangle?
It is the square root of the sum of the squares of the length and the breadth. A rectangle 9 by 12 has a diagonal of 15 units.
How do I find the area of a path around a rectangle?
Add twice the path width to both the length and the breadth to get the outer rectangle, then subtract the original area from the outer area.
How are the diagonal and area of a square related?
The area is half the square of the diagonal. A diagonal of 10 root 2 gives a side of 10 and an area of 100 square units.
60-second recap
- Square diagonal = side times root 2.
- Rectangle diagonal = root of l squared plus b squared.
- Lengths times k: area times k squared, volume times k cubed.
- A 20% side rise gives a 44% area rise.
- A path of width w adds 2w to each dimension.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
परिमाप और विकर्ण
परिमाप सीमा की लंबाई है और विकर्ण आकृति के आर-पार जाने वाली सीधी रेखा। सबसे ज़्यादा याद रखने लायक नियम scaling rule है: हर लंबाई को k से गुणा करें तो परिमाप k गुना होता है, पर क्षेत्रफल k squared गुना।
परिमाप और विकर्ण के formula
| आकृति | परिमाप | विकर्ण |
|---|---|---|
| वर्ग | 4 x भुजा | भुजा x root 2 |
| आयत | 2 x (l + b) | root of l squared plus b squared |
| वृत्त | 2 pi r | व्यास, 2r |
| समबाहु त्रिभुज | 3 x भुजा | विकर्ण नहीं होता |
| समचतुर्भुज | 4 x भुजा | d1 और d2, 90 पर मिलते हुए |
Scaling rule कैसे काम करता है
लंबाइयाँ k गुना: परिमाप x k, क्षेत्रफल x k squared, आयतन x k cubed
वर्ग की भुजा 20 प्रतिशत बढ़ाने पर परिमाप 20 प्रतिशत बढ़ता है पर क्षेत्रफल 44 प्रतिशत, क्योंकि 1.2 का वर्ग 1.44 होता है। SSC परिमाप वाला रूप कम और क्षेत्रफल वाला रूप कहीं ज़्यादा पूछता है।
रास्ते और border
अगर w चौड़ाई का रास्ता आयत के बाहर की तरफ हो, तो बाहरी माप हर दिशा में चौड़ाई का दोगुना बढ़ जाते हैं। अगर रास्ता अंदर की तरफ हो, तो वे चौड़ाई का दोगुना घट जाते हैं।
रास्ते का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल - भीतरी क्षेत्रफल
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 9 गुणा 12 के आयत का विकर्ण निकालिए। यह root of 81 plus 144 = root of 225 = 15 इकाई है।
उदाहरण 2. वर्ग की हर भुजा 20 प्रतिशत बढ़ा दी जाए तो क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ेगा? क्षेत्रफल 1.2 के वर्ग से बढ़ता है, यानी 1.44, तो वृद्धि 44 प्रतिशत है।
उदाहरण 3. 40 गुणा 30 मीटर के आयताकार पार्क के बाहर चारों ओर 2 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल निकालिए। बाहरी आयत 44 गुणा 34 का हुआ, यानी 1496 वर्ग मीटर, और भीतरी 1200, तो रास्ता 296 वर्ग मीटर का है।
उदाहरण 4. एक वर्ग का परिमाप 14 त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि के बराबर है। वर्ग की भुजा निकालिए। परिधि 88 है, तो भुजा 88 में 4 का भाग = 22 इकाई।
उदाहरण 5. एक वर्ग का विकर्ण 10 root 2 है। उसका क्षेत्रफल निकालिए। भुजा 10 है, तो क्षेत्रफल 100 वर्ग इकाई है।
SSC के दोहराए जाने वाले जाल
✗ भुजा 20% बढ़ाने पर क्षेत्रफल भी 20% बढ़ता है | ✓ क्षेत्रफल 44% बढ़ता है
✗ 2 m का रास्ता हर माप में 2 m जोड़ता है | ✓ यह दोनों तरफ 2 m जोड़ता है, यानी कुल 4 m
Path wale sawaal me chaudai dono taraf judti hai. 2 metre ka rasta har dimension me 4 metre jodta hai - yahi galti sabse zyada hoti hai.
Exam pointer — परिमाप और विकर्ण से लगभग 1 सवाल आता है, जो अक्सर क्षेत्रफल में प्रतिशत बदलाव के रूप में छिपा होता है। scaling rule आता हो तो यह 20 सेकंड का सवाल है, न आता हो तो 60 सेकंड का। रास्ते और border वाले सवाल धीमे पड़ते हैं, इसलिए उन्हें section के दूसरे round के लिए रखना बेहतर है।
Frequently Asked Questions
वर्ग की भुजा 20 प्रतिशत बढ़े तो क्षेत्रफल कितना बढ़ता है?
44 प्रतिशत। क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के हिसाब से बदलता है, इसलिए भुजा को 1.2 से गुणा करने पर क्षेत्रफल 1.44 गुना हो जाता है, यानी 44 प्रतिशत की वृद्धि।
आयत का विकर्ण कैसे निकालते हैं?
यह लंबाई और चौड़ाई के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है। 9 गुणा 12 वाले आयत में विकर्ण 15 इकाई आता है, क्योंकि 81 और 144 का योग 225 है और उसका वर्गमूल 15 है।
आयत के चारों ओर बने रास्ते का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
लंबाई और चौड़ाई दोनों में रास्ते की चौड़ाई का दोगुना जोड़कर बाहरी आयत बनाइए, फिर बाहरी क्षेत्रफल में से मूल आयत का क्षेत्रफल घटा दीजिए। बचा हुआ मान रास्ते का क्षेत्रफल है।
वर्ग के विकर्ण और क्षेत्रफल का संबंध क्या है?
क्षेत्रफल विकर्ण के वर्ग का आधा होता है। 10 root 2 का विकर्ण होने पर भुजा 10 आती है और क्षेत्रफल 100 वर्ग इकाई, यानी विकर्ण से सीधे भी उत्तर निकल आता है।
60-second recap
- वर्ग का विकर्ण = भुजा x root 2।
- आयत का विकर्ण = root of l squared plus b squared।
- लंबाइयाँ k गुना: क्षेत्रफल k squared गुना, आयतन k cubed गुना।
- भुजा 20% बढ़े तो क्षेत्रफल 44% बढ़ता है।
- w चौड़ाई का रास्ता हर माप में 2w जोड़ता है।