Prism, Pyramid and Frustum

A prism has two identical parallel bases and its volume is base area times height. A pyramid narrows to a point and takes one-third of that. A frustum is a cone or pyramid with its top sliced off, and it has its own three-term volume formula.

Prism formulas

Prism volume = base area x height

Prism lateral surface area = base perimeter x height

Prism total surface area = lateral area + 2 x base area

Pyramid formulas

Pyramid volume = (1/3) x base area x height

Pyramid lateral surface area = (1/2) x base perimeter x slant height

The slant height runs along the face while the vertical height runs down the middle. They are connected by a right triangle with half the base side, and mixing them is the standard error here.

Frustum formulas

Frustum volume = (pi h/3) x (R squared + r squared + R r)

Frustum curved surface area = pi (R + r) l, with l = root of (h squared + (R - r) squared)

Solved examples

Example 1. A triangular prism has a base area of 24 and a height of 10. Find its volume. It is 24 times 10 = 240 cubic units.

Example 2. A square pyramid has a base edge of 6 and a vertical height of 4. Find its volume. The base area is 36, so the volume is one-third times 36 times 4 = 48 cubic units.

Example 3. For the same pyramid, find the slant height. It is the root of 4 squared plus 3 squared, using half the base edge, which gives 5 units.

Example 4. A frustum has radii 6 and 3 and a height of 7. Find its volume. Apply the formula: pi times 7 over 3, times (36 plus 9 plus 18) = seven pi over 3, times 63 = 147 pi cubic units.

Example 5. A prism has a square base of side 5 and a height of 12. Find its lateral surface area. The base perimeter is 20, so the lateral area is 20 times 12 = 240 square units.

Traps SSC repeats

✗ Use the slant height in the pyramid volume formula  |  ✓ Volume uses the vertical height

✗ The frustum volume is the difference of two simple cones  |  ✓ It is, but only through the three-term formula, not by subtracting radii

Frequently Asked Questions

What is the volume of a prism?

It is the area of the base multiplied by the height, whatever the shape of the base. A pyramid on the same base and height holds exactly one-third as much.

What is the difference between slant height and vertical height?

The vertical height runs from the apex straight down to the base centre, while the slant height runs along a face to the base edge. Volume uses the vertical height and lateral surface area uses the slant height.

What is the formula for the volume of a frustum?

It is pi times the height divided by 3, multiplied by the sum of the squares of the two radii plus their product. The three-term bracket is what candidates most often forget.

Is a frustum question worth attempting in SSC CGL?

Rarely. It appears infrequently and takes longer than most Quant questions, so it is a sensible skip under the 15-minute sectional timer unless the rest of the section is already done.

Now practise these mensuration questions in the free SSC CGL Tier 1 mock test on ExamAtlas.

प्रिज्म, पिरामिड और छिन्नक

प्रिज्म में दो एक जैसे समांतर आधार होते हैं और उसका आयतन आधार का क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई होता है। पिरामिड ऊपर जाकर एक बिंदु पर सिमटता है और उसका आयतन इसका एक-तिहाई होता है। छिन्नक शंकु या पिरामिड का ऊपरी हिस्सा काटकर बनता है, और उसका अपना तीन पद वाला आयतन formula है।

प्रिज्म के formula

प्रिज्म का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार का परिमाप x ऊँचाई

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व क्षेत्रफल + 2 x आधार का क्षेत्रफल

पिरामिड के formula

पिरामिड का आयतन = (1/3) x आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = (1/2) x आधार का परिमाप x तिरछी ऊँचाई

तिरछी ऊँचाई फलक के साथ-साथ चलती है जबकि लंबवत ऊँचाई बीच से नीचे गिरती है। ये दोनों आधार की आधी भुजा के साथ एक समकोण त्रिभुज से जुड़ी होती हैं, और इन्हें आपस में बदल देना ही यहाँ की आम गलती है।

छिन्नक के formula

छिन्नक का आयतन = (pi h/3) x (R squared + r squared + R r)

छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = pi (R + r) l, जहाँ l = root of (h squared + (R - r) squared)

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. एक त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 24 और ऊँचाई 10 है। आयतन निकालिए। यह 24 गुणा 10 = 240 घन इकाई है।

उदाहरण 2. एक वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा 6 और लंबवत ऊँचाई 4 है। आयतन निकालिए। आधार का क्षेत्रफल 36 है, तो आयतन एक-तिहाई गुणा 36 गुणा 4 = 48 घन इकाई।

उदाहरण 3. उसी पिरामिड की तिरछी ऊँचाई निकालिए। यह आधार की आधी भुजा लेकर root of 4 squared plus 3 squared होती है, जिससे 5 इकाई मिलता है।

उदाहरण 4. एक छिन्नक की त्रिज्याएँ 6 और 3 हैं और ऊँचाई 7 है। आयतन निकालिए। formula लगाइए: pi गुणा 7/3, गुणा (36 plus 9 plus 18) = सात pi बटा 3, गुणा 63 = 147 pi घन इकाई।

उदाहरण 5. एक प्रिज्म का आधार 5 भुजा वाला वर्ग है और ऊँचाई 12 है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालिए। आधार का परिमाप 20 है, तो पार्श्व क्षेत्रफल 20 गुणा 12 = 240 वर्ग इकाई।

SSC के दोहराए जाने वाले जाल

✗ पिरामिड के आयतन formula में तिरछी ऊँचाई लगाना  |  ✓ आयतन में लंबवत ऊँचाई लगती है

✗ छिन्नक का आयतन दो साधारण शंकुओं का अंतर है  |  ✓ है तो सही, पर वह तीन पद वाले formula से निकलता है, त्रिज्याएँ घटाकर नहीं

Frequently Asked Questions

प्रिज्म का आयतन क्या होता है?

यह आधार का क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई होता है, आधार चाहे किसी भी आकार का हो। उसी आधार और उसी ऊँचाई वाला पिरामिड ठीक इसका एक-तिहाई ही समा पाता है।

तिरछी ऊँचाई और लंबवत ऊँचाई में क्या अंतर है?

लंबवत ऊँचाई शीर्ष से सीधे आधार के केंद्र तक जाती है, जबकि तिरछी ऊँचाई किसी फलक के साथ आधार के किनारे तक जाती है। आयतन में लंबवत ऊँचाई लगती है और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल में तिरछी।

छिन्नक के आयतन का formula क्या है?

यह pi गुणा ऊँचाई में 3 का भाग, और उसे दोनों त्रिज्याओं के वर्गों तथा उनके गुणनफल के योग से गुणा करने पर मिलता है। तीन पद वाला यही bracket उम्मीदवार सबसे ज़्यादा भूलते हैं।

SSC CGL में छिन्नक का सवाल करना चाहिए?

बहुत कम मौकों पर। यह कभी-कभार ही आता है और बाकी Quant सवालों से ज़्यादा समय लेता है, इसलिए 15 मिनट के sectional timer में इसे छोड़ देना समझदारी है, जब तक बाकी section पूरा न हो चुका हो।

अब इन mensuration सवालों का अभ्यास ExamAtlas के free SSC CGL Tier 1 mock test में कीजिए।