Centres of a Triangle

A triangle has four standard centres. The centroid is where the medians meet and divides each in a 2 to 1 ratio. The incentre, circumcentre and orthocentre each come with one angle formula, and SSC questions are almost always a direct application of that formula.

The four centres at a glance

Where each centre sits

In an acute triangle all four lie inside. In a right triangle the circumcentre is the midpoint of the hypotenuse and the orthocentre is the right-angle vertex. In an obtuse triangle the circumcentre and orthocentre fall outside.

In an equilateral triangle, all four centres coincide

Useful lengths

Circumradius R = abc/(4 x area); inradius r = area/semi-perimeter

Reading the figure fast

Identify the centre from the lines drawn in the figure rather than from the label. Lines to the midpoints of sides mean a centroid, lines splitting the angles mean an incentre, lines meeting the sides at right angles mean an orthocentre, and perpendiculars drawn from the midpoints of the sides mean a circumcentre.

Solved examples

Example 1. In a triangle with angle A equal to 40 degrees, find the angle BIC at the incentre. Apply the formula: 90 plus 20 = 110 degrees.

Example 2. In a triangle with angle A equal to 50 degrees, find the angle BOC at the circumcentre. It is twice angle A, which is 100 degrees.

Example 3. In a triangle with angle A equal to 70 degrees, find the angle BHC at the orthocentre. It is 180 minus 70 = 110 degrees.

Example 4. A median of a triangle is 18 cm long. Find the distance from the centroid to the vertex. The centroid divides the median in a 2 to 1 ratio from the vertex, so the distance is two-thirds of 18 = 12 cm.

Example 5. A right triangle has legs 6 and 8. Find its circumradius. The hypotenuse is 10 and the circumcentre is its midpoint, so the circumradius is 5 units.

Traps SSC repeats

✗ The centroid divides the median 1 : 2 from the vertex  |  ✓ It is 2 : 1 from the vertex

✗ Angle BOC at the circumcentre is 90 + A/2  |  ✓ That formula belongs to the incentre

Frequently Asked Questions

What is the ratio in which the centroid divides a median?

It divides every median in the ratio 2 to 1, measured from the vertex. So the distance from the vertex to the centroid is two-thirds of the whole median.

What is the angle BIC at the incentre?

It equals 90 degrees plus half of angle A. For a triangle with angle A of 40 degrees, the angle BIC at the incentre is 110 degrees.

Where is the circumcentre of a right-angled triangle?

At the midpoint of the hypotenuse, which makes the circumradius exactly half the hypotenuse. The orthocentre of a right triangle sits at the right-angle vertex.

Do all four centres ever coincide?

Yes, in an equilateral triangle the centroid, incentre, circumcentre and orthocentre are the same point. This is a favourite one-line question in SSC exams.

त्रिभुज के केंद्र

त्रिभुज में चार मानक केंद्र होते हैं। Centroid वह बिंदु है जहाँ माध्यिकाएँ मिलती हैं और वह हर माध्यिका को 2 से 1 के अनुपात में बाँटता है। Incentre, circumcentre और orthocentre में से हर एक का अपना एक कोण formula है, और SSC के प्रश्न लगभग हमेशा उसी formula का सीधा प्रयोग होते हैं।

चारों केंद्र एक नजर में

कौन-सा केंद्र कहाँ बैठता है

न्यूनकोण त्रिभुज में चारों अंदर होते हैं। समकोण त्रिभुज में circumcentre कर्ण का मध्यबिंदु होता है और orthocentre समकोण वाला शीर्ष होता है। अधिककोण त्रिभुज में circumcentre और orthocentre बाहर चले जाते हैं।

समबाहु त्रिभुज में चारों केंद्र एक ही बिंदु पर होते हैं

काम की लंबाइयाँ

Circumradius R = abc/(4 x क्षेत्रफल); inradius r = क्षेत्रफल/अर्धपरिमाप

आकृति को तेजी से पढ़ना

केंद्र को लेबल से नहीं, बल्कि आकृति में खींची गई रेखाओं से पहचानिए। भुजाओं के मध्यबिंदुओं तक जाती रेखाएँ centroid बताती हैं, कोणों को बाँटती रेखाएँ incentre बताती हैं, भुजाओं से समकोण पर मिलती रेखाएँ orthocentre बताती हैं, और भुजाओं के मध्यबिंदुओं से खींचे गए लंब circumcentre बताते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. एक त्रिभुज में कोण A बराबर 40 degrees है, incentre पर कोण BIC निकालिए। formula लगाइए: 90 जोड़ 20 = 110 degrees।

उदाहरण 2. एक त्रिभुज में कोण A बराबर 50 degrees है, circumcentre पर कोण BOC निकालिए। यह कोण A का दोगुना होता है, यानी 100 degrees।

उदाहरण 3. एक त्रिभुज में कोण A बराबर 70 degrees है, orthocentre पर कोण BHC निकालिए। यह 180 घटा 70 = 110 degrees।

उदाहरण 4. एक त्रिभुज की माध्यिका 18 cm लंबी है। centroid से शीर्ष तक की दूरी निकालिए। Centroid माध्यिका को शीर्ष से 2 से 1 के अनुपात में बाँटता है, इसलिए दूरी 18 का दो-तिहाई = 12 cm।

उदाहरण 5. एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 और 8 हैं। इसका circumradius निकालिए। कर्ण 10 है और circumcentre उसका मध्यबिंदु है, इसलिए circumradius है 5 इकाई।

SSC के दोहराए जाने वाले ट्रैप

✗ Centroid माध्यिका को शीर्ष से 1 : 2 में बाँटता है  |  ✓ यह शीर्ष से 2 : 1 में बाँटता है

✗ Circumcentre पर कोण BOC = 90 + A/2 होता है  |  ✓ यह formula incentre का है

Frequently Asked Questions

Centroid माध्यिका को किस अनुपात में बाँटता है?

यह हर माध्यिका को 2 से 1 के अनुपात में बाँटता है, और यह अनुपात शीर्ष से नापा जाता है। इसलिए शीर्ष से centroid तक की दूरी पूरी माध्यिका का दो-तिहाई होती है।

Incentre पर कोण BIC कितना होता है?

यह 90 degrees जोड़ कोण A का आधा होता है। जिस त्रिभुज में कोण A 40 degrees हो, उसमें incentre पर कोण BIC 110 degrees होगा। SSC यही formula सीधे पूछता है।

समकोण त्रिभुज का circumcentre कहाँ होता है?

कर्ण के मध्यबिंदु पर, जिससे circumradius ठीक कर्ण का आधा हो जाता है। समकोण त्रिभुज का orthocentre समकोण वाले शीर्ष पर ही बैठता है, यह भी अक्सर पूछा जाता है।

क्या चारों केंद्र कभी एक ही बिंदु पर आते हैं?

हाँ, समबाहु त्रिभुज में centroid, incentre, circumcentre और orthocentre एक ही बिंदु होते हैं। SSC परीक्षाओं में यह पसंदीदा एक-पंक्ति वाला प्रश्न है।