वृत्त और स्पर्श रेखा
Circles and Tangents
Circle questions rest on four theorems: the angle at the centre is twice the angle at the circumference, the angle in a semicircle is a right angle, opposite angles of a cyclic quadrilateral add to 180, and a tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.
The angle theorems
Angle at the centre = 2 x angle at the circumference on the same arc
Angle in a semicircle = 90 degrees
Cyclic quadrilateral: opposite angles add to 180
Angles in the same segment are equal. This is the theorem candidates most often fail to spot, because the two equal angles can sit far apart in the figure.
Tangent properties
| Property | Statement | Use |
|---|---|---|
| Radius and tangent | Perpendicular at the point of contact | Creates right triangles |
| Two tangents from a point | Equal in length | Sets up equations |
| Tangent and secant | PT squared = PA x PB | Length questions |
| Two chords intersecting | PA x PB = PC x PD | Inside the circle |
| Alternate segment | Tangent-chord angle equals the angle in the alternate segment | Angle questions |
Solved examples
Example 1. An arc subtends 40 degrees at the circumference. Find the angle it subtends at the centre. It is twice as large, so 80 degrees.
Example 2. In a cyclic quadrilateral, one angle is 105 degrees. Find its opposite angle. Opposite angles are supplementary, so it is 75 degrees.
Example 3. From an external point P, a tangent PT touches a circle and a secant through P meets it at A and B, with PA equal to 4 and PB equal to 9. Find PT. Apply the theorem: PT squared = 4 times 9 = 36, so PT = 6 units.
Example 4. Two chords AB and CD intersect inside a circle at P, with PA = 6, PB = 4 and PC = 3. Find PD. Since PA times PB equals PC times PD, we get 24 = 3 times PD, so PD = 8 units.
Example 5. A tangent of length 12 is drawn from a point 13 units from the centre. Find the radius. The radius, tangent and distance form a right triangle, so the radius is the root of 169 minus 144 = 5 units.
Traps SSC repeats
✗ The angle at the circumference is twice the central angle | ✓ The central angle is the larger one
✗ Adjacent angles of a cyclic quadrilateral add to 180 | ✓ Opposite angles do
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Exam pointer — Circles give 1 to 2 questions in Tier 1, split between an angle theorem and a tangent-length calculation. Both are 30-second questions when the theorem is recognised. The alternate segment theorem appears less often but is unsolvable without recall, so add it to your formula sheet rather than trying to reason it out in the exam.
Frequently Asked Questions
What is the relation between the central angle and the inscribed angle?
The angle subtended at the centre is exactly twice the angle subtended at any point on the remaining circumference by the same arc.
What is the tangent-secant theorem?
The square of the tangent length from an external point equals the product of the two segments of any secant drawn from that same point. If the segments are 4 and 9, the tangent is 6.
What are the properties of a cyclic quadrilateral?
Its four vertices lie on a circle, and its opposite angles add up to 180 degrees. Its exterior angle also equals the interior opposite angle.
Are two tangents drawn from the same external point equal?
Yes, always. This equality is frequently used to set up an equation when a circle is inscribed in a triangle or a quadrilateral.
60-second recap
- Central angle is twice the inscribed angle.
- Angle in a semicircle is 90 degrees.
- Cyclic quadrilateral: opposite angles sum to 180.
- Tangent is perpendicular to the radius; two tangents are equal.
- PT squared = PA x PB for a tangent and secant.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
वृत्त और स्पर्श रेखा
वृत्त के प्रश्न चार theorem पर टिके हैं: केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है, अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, cyclic quadrilateral के सम्मुख कोणों का जोड़ 180 होता है, और स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है।
कोण वाले theorem
केंद्र पर कोण = 2 x उसी चाप पर परिधि पर बना कोण
अर्धवृत्त में बना कोण = 90 degrees
Cyclic quadrilateral: सम्मुख कोणों का जोड़ 180
एक ही segment में बने कोण बराबर होते हैं। यही वह theorem है जिसे छात्र सबसे ज्यादा पकड़ने से चूकते हैं, क्योंकि दोनों बराबर कोण आकृति में दूर-दूर बैठे हो सकते हैं।
स्पर्श रेखा के गुण
| गुण | कथन | उपयोग |
|---|---|---|
| त्रिज्या और स्पर्श रेखा | स्पर्श बिंदु पर लंब | समकोण त्रिभुज बनाता है |
| एक बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ | लंबाई में बराबर | समीकरण बनाता है |
| स्पर्श रेखा और छेदक | PT squared = PA x PB | लंबाई वाले प्रश्न |
| दो जीवाओं का कटान | PA x PB = PC x PD | वृत्त के अंदर |
| Alternate segment | स्पर्श-जीवा कोण alternate segment के कोण के बराबर | कोण वाले प्रश्न |
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. एक चाप परिधि पर 40 degrees का कोण बनाता है। केंद्र पर बनने वाला कोण निकालिए। यह दोगुना होता है, इसलिए 80 degrees।
उदाहरण 2. एक cyclic quadrilateral में एक कोण 105 degrees है। इसका सम्मुख कोण निकालिए। सम्मुख कोण supplementary होते हैं, इसलिए यह 75 degrees है।
उदाहरण 3. बाहरी बिंदु P से एक स्पर्श रेखा PT वृत्त को छूती है और P से जाती एक छेदक उसे A और B पर मिलती है, जहाँ PA बराबर 4 और PB बराबर 9 है। PT निकालिए। theorem लगाइए: PT squared = 4 गुना 9 = 36, इसलिए PT = 6 इकाई।
उदाहरण 4. दो जीवाएँ AB और CD वृत्त के अंदर P पर कटती हैं, जहाँ PA = 6, PB = 4 और PC = 3 है। PD निकालिए। चूँकि PA गुना PB बराबर PC गुना PD होता है, हमें मिलता है 24 = 3 गुना PD, इसलिए PD = 8 इकाई।
उदाहरण 5. केंद्र से 13 इकाई दूर एक बिंदु से 12 लंबाई की स्पर्श रेखा खींची गई है। त्रिज्या निकालिए। त्रिज्या, स्पर्श रेखा और दूरी मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए त्रिज्या 169 घटा 144 का वर्गमूल = 5 इकाई।
SSC के दोहराए जाने वाले ट्रैप
✗ परिधि पर बना कोण केंद्रीय कोण का दोगुना होता है | ✓ केंद्रीय कोण ही बड़ा होता है
✗ Cyclic quadrilateral के आसन्न कोणों का जोड़ 180 होता है | ✓ सम्मुख कोणों का जोड़ 180 होता है
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Exam pointer — वृत्त Tier 1 में 1 से 2 प्रश्न देते हैं, जो एक कोण theorem और एक स्पर्श रेखा की लंबाई वाली गणना में बँटे रहते हैं। theorem पहचान में आ जाए तो दोनों 30 सेकंड के प्रश्न हैं। Alternate segment theorem कम आता है पर याद के बिना हल ही नहीं होता, इसलिए परीक्षा में सोचने के बजाय इसे अपनी formula शीट में जोड़ लीजिए।
Frequently Asked Questions
केंद्रीय कोण और परिधि पर बने कोण में क्या संबंध है?
एक ही चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण शेष परिधि के किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का ठीक दोगुना होता है। यही सबसे ज्यादा पूछा जाने वाला वृत्त theorem है।
स्पर्श रेखा-छेदक theorem क्या है?
बाहरी बिंदु से खींची स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग उसी बिंदु से खींचे किसी भी छेदक के दोनों खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। खंड 4 और 9 हों तो स्पर्श रेखा 6 होगी।
Cyclic quadrilateral के क्या गुण होते हैं?
इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर होते हैं, और इसके सम्मुख कोणों का जोड़ 180 degrees होता है। इसका बाहरी कोण भी अपने आंतरिक सम्मुख कोण के बराबर होता है।
क्या एक ही बाहरी बिंदु से खींची दो स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं?
हाँ, हमेशा। जब कोई वृत्त किसी त्रिभुज या चतुर्भुज के अंदर बना हो, तब समीकरण खड़ा करने के लिए इसी बराबरी का बार-बार उपयोग किया जाता है।
60-second recap
- केंद्रीय कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
- अर्धवृत्त में बना कोण 90 degrees होता है।
- Cyclic quadrilateral: सम्मुख कोणों का जोड़ 180।
- स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब; दो स्पर्श रेखाएँ बराबर।
- स्पर्श रेखा और छेदक के लिए PT squared = PA x PB।