Linear Equations

A linear equation has variables only to the first power. In SSC CGL you either solve a pair by elimination or you are asked about the nature of the solution, which is decided entirely by comparing the coefficient ratios of the two equations.

Nature of the solution

This table answers a whole question type in five seconds. Write both equations in the standard form ax plus by plus c equals 0 before comparing, because an unmoved constant flips the answer.

Solving fast

Elimination: make one coefficient match, then add or subtract

For the symmetric pair where the two equations are mirror images, add and subtract them instead of eliminating. It halves the work.

If x + y = m and x - y = n, then x = (m + n)/2 and y = (m - n)/2

Solved examples

Example 1. Solve 3x plus 2y = 16 and 5x minus 2y = 8. Adding removes y: 8x = 24, so x = 3, and substituting gives 2y = 7, so x = 3 and y = 3.5.

Example 2. For what value of k does the pair 2x plus 3y = 7 and 4x plus ky = 14 have infinitely many solutions? The ratios must all match: 2 over 4 equals 3 over k, so k = 6, and the constant ratio 7 over 14 also matches.

Example 3. The sum of two numbers is 45 and their difference is 9. Find them. Use the mirror formulas: the numbers are (45 plus 9)/2 and (45 minus 9)/2, giving 27 and 18.

Example 4. Five years ago a father was 7 times as old as his son. Now he is 4 times as old. Find the son's present age. Let the son be x now. Then 4x minus 5 = 7(x minus 5), so 4x minus 5 = 7x minus 35, giving 3x = 30 and x = 10 years.

Traps SSC repeats

✗ Compare coefficients without rearranging  |  ✓ Bring both equations to the same standard form first

✗ Equal ratios always mean infinitely many solutions  |  ✓ If the constant ratio differs, there is no solution

Frequently Asked Questions

When does a pair of linear equations have no solution?

When the ratios of the x coefficients and the y coefficients are equal but the ratio of the constants is different. Geometrically the lines are parallel, so they never meet.

How do I find k for infinitely many solutions?

Set all three ratios equal: the x coefficients, the y coefficients and the constants must be in the same ratio. Solve the resulting equation for k and verify the third ratio matches.

What is the fastest way to solve a symmetric pair?

If one equation gives the sum and the other the difference, the two numbers are half the sum plus half the difference, and half the sum minus half the difference. No elimination is needed.

How do I set up age word problems?

Let the present age be the variable, write each stated condition as an equation using that variable, and subtract or add the given number of years consistently on both sides.

रैखिक समीकरण

रैखिक समीकरण में चर सिर्फ़ पहली घात में होते हैं। SSC CGL में या तो आपको दो समीकरणों का जोड़ा elimination से हल करना होता है, या हल की प्रकृति पूछी जाती है, और वह पूरी तरह दोनों समीकरणों के गुणांकों के अनुपात की तुलना से तय होती है।

हल की प्रकृति

यह table पूरे एक सवाल-प्रकार का जवाब पाँच सेकंड में दे देता है। तुलना करने से पहले दोनों समीकरणों को standard form ax plus by plus c equals 0 में लिखो, क्योंकि बिना हटाया हुआ अचर पूरा उत्तर पलट देता है।

तेज़ी से हल करना

Elimination: एक coefficient बराबर करो, फिर जोड़ो या घटाओ

जब दोनों समीकरण एक-दूसरे का दर्पण जैसा जोड़ा हों, तो elimination की जगह उन्हें जोड़ो और घटाओ। इससे आधी मेहनत बच जाती है।

अगर x + y = m और x - y = n, तो x = (m + n)/2 और y = (m - n)/2

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1. 3x plus 2y = 16 और 5x minus 2y = 8 हल करो। जोड़ने पर y हट जाता है: 8x = 24, यानी x = 3, और रखने पर 2y = 7, यानी x = 3 और y = 3.5।

उदाहरण 2. k के किस मान पर 2x plus 3y = 7 और 4x plus ky = 14 के अनंत हल होंगे? तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए: 2 over 4 बराबर 3 over k, यानी k = 6, और अचरों का अनुपात 7 over 14 भी मेल खाता है।

उदाहरण 3. दो संख्याओं का योग 45 है और अंतर 9 है। संख्याएँ बताओ। दर्पण वाले सूत्र लगाओ: संख्याएँ (45 plus 9)/2 और (45 minus 9)/2 हैं, यानी 27 और 18।

उदाहरण 4. पाँच साल पहले पिता की उम्र पुत्र से 7 गुना थी। अब वह 4 गुना है। पुत्र की वर्तमान उम्र निकालो। मान लो पुत्र अभी x साल का है। तब 4x minus 5 = 7(x minus 5), यानी 4x minus 5 = 7x minus 35, जिससे 3x = 30 और x = 10 साल।

SSC बार-बार दोहराता है ये जाल

✗ बिना rearrange किए गुणांकों की तुलना कर देना  |  ✓ पहले दोनों समीकरणों को एक ही standard form में लाओ

✗ अनुपात बराबर हों तो हमेशा अनंत हल होते हैं  |  ✓ अगर अचरों का अनुपात अलग है तो कोई हल नहीं होता

Frequently Asked Questions

रैखिक समीकरणों के जोड़े का कोई हल कब नहीं होता?

जब x के गुणांकों का अनुपात और y के गुणांकों का अनुपात बराबर हों, पर अचरों का अनुपात अलग हो। ज्यामिति की भाषा में दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं, इसलिए वे कभी नहीं मिलतीं और समीकरणों का कोई उभयनिष्ठ हल नहीं बनता।

अनंत हल के लिए k कैसे निकालें?

तीनों अनुपात बराबर रखो: x के गुणांक, y के गुणांक और अचर, सबका अनुपात एक ही होना चाहिए। इससे बनी समीकरण को k के लिए हल करो और फिर जाँच लो कि तीसरा अनुपात भी उसी मान पर मेल खा रहा है या नहीं।

दर्पण जैसे जोड़े को सबसे तेज़ कैसे हल करें?

अगर एक समीकरण योग देती है और दूसरी अंतर, तो दोनों संख्याएँ आधे योग में आधा अंतर जोड़कर और आधे योग में से आधा अंतर घटाकर मिल जाती हैं। इसमें elimination करने की कोई ज़रूरत नहीं पड़ती और समय आधा लगता है।

उम्र वाले word problems कैसे बनाएँ?

वर्तमान उम्र को चर मान लो, फिर दी गई हर शर्त को उसी चर की मदद से एक समीकरण में लिखो। साल जोड़ते या घटाते समय दोनों पक्षों पर एक जैसा बदलाव करो, वरना समीकरण गलत बन जाती है और उत्तर बिगड़ जाता है।