द्विघात समीकरण
Quadratic Equations
For a quadratic ax squared plus bx plus c, the sum of the roots is minus b over a and the product is c over a. SSC rarely asks you to solve the equation. It asks for something built from the roots, and these two relations answer it without finding the roots at all.
The two relations that do the work
Sum of roots = -b/a and product of roots = c/a
Equation from roots: x squared - (sum)x + (product) = 0
The discriminant
D = b squared - 4ac
| Discriminant | Nature of roots | Note |
|---|---|---|
| D greater than 0, perfect square | Real, distinct, rational | Factorises cleanly |
| D greater than 0, not a perfect square | Real, distinct, irrational | Roots come in a pair |
| D equals 0 | Real and equal | One repeated root |
| D less than 0 | No real roots | Complex conjugates |
Building expressions from the roots
Sum of squares of roots = (sum) squared - 2 x (product)
Sum of reciprocals = (sum)/(product)
Solved examples
Example 1. Find the sum and product of the roots of 2x squared minus 7x plus 6. The sum is 7 over 2 and the product is 3.
Example 2. If the roots of x squared minus 5x plus 6 are p and q, find p squared plus q squared. The sum is 5 and the product is 6, so the answer is 25 minus 12 = 13. Checking directly, the roots are 2 and 3, and 4 plus 9 is 13.
Example 3. For what value of k does x squared plus kx plus 9 have equal roots? Set the discriminant to zero: k squared minus 36 = 0, so k equals 6 or minus 6.
Example 4. Form the quadratic equation whose roots are 4 and minus 7. The sum is minus 3 and the product is minus 28, so the equation is x squared plus 3x minus 28 = 0.
Traps SSC repeats
✗ Sum of roots is b over a | ✓ It is minus b over a
✗ D equal to zero means no roots | ✓ It means two equal real roots
Roots nikalne ki zaroorat nahi hoti. Sum aur product se hi zyadatar sawaal ban jaate hain - yahi is chapter ka sabse bada shortcut hai.
Exam pointer — Quadratic equations give about 1 question, most often the equal-roots value-of-k type or an expression built from the roots. Both are 25-second questions using the sum and product relations. Actually solving the quadratic wastes 40 seconds and is almost never necessary in Tier 1.
Frequently Asked Questions
What is the sum and product of the roots of a quadratic?
For ax squared plus bx plus c, the sum of the roots is minus b divided by a and the product is c divided by a. These let you answer most questions without solving the equation.
What does the discriminant tell me?
The value b squared minus 4ac decides the nature of the roots. A positive value gives two distinct real roots, zero gives two equal real roots and a negative value means there are no real roots.
How do I form a quadratic equation from its roots?
Write x squared minus the sum of the roots times x, plus the product of the roots, equal to zero. For roots 4 and minus 7 this gives x squared plus 3x minus 28.
How do I find the sum of the squares of the roots?
Square the sum of the roots and subtract twice their product. For x squared minus 5x plus 6 this gives 25 minus 12, which is 13.
60-second recap
- Sum of roots = -b/a; product = c/a.
- Equation from roots: x squared - (sum)x + product.
- D positive means distinct real roots; D zero means equal roots.
- D negative means no real roots.
- Never solve the quadratic if sum and product will do.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
द्विघात समीकरण
ax squared plus bx plus c वाली द्विघात समीकरण में मूलों का योग minus b over a होता है और गुणनफल c over a होता है। SSC शायद ही कभी समीकरण हल करने को कहता है। वह मूलों से बना कोई मान पूछता है, और ये दोनों संबंध मूल निकाले बिना ही उत्तर दे देते हैं।
दो संबंध जो सारा काम कर देते हैं
मूलों का योग = -b/a और मूलों का गुणनफल = c/a
मूलों से समीकरण: x squared - (योग)x + (गुणनफल) = 0
Discriminant का काम
D = b squared - 4ac
| Discriminant | मूलों की प्रकृति | नोट |
|---|---|---|
| D 0 से बड़ा, perfect square | वास्तविक, भिन्न, परिमेय | आसानी से factorise होता है |
| D 0 से बड़ा, perfect square नहीं | वास्तविक, भिन्न, अपरिमेय | मूल जोड़े में आते हैं |
| D बराबर 0 | वास्तविक और बराबर | एक ही मूल दोहराया हुआ |
| D 0 से छोटा | कोई वास्तविक मूल नहीं | Complex conjugates |
मूलों से expression बनाना
मूलों के वर्गों का योग = (योग) squared - 2 x (गुणनफल)
व्युत्क्रमों का योग = (योग)/(गुणनफल)
हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1. 2x squared minus 7x plus 6 के मूलों का योग और गुणनफल निकालो। योग 7 over 2 है और गुणनफल 3 है।
उदाहरण 2. अगर x squared minus 5x plus 6 के मूल p और q हैं, तो p squared plus q squared निकालो। योग 5 है और गुणनफल 6, इसलिए उत्तर 25 minus 12 = 13। सीधे जाँचो तो मूल 2 और 3 हैं, और 4 plus 9 भी 13 ही है।
उदाहरण 3. k के किस मान पर x squared plus kx plus 9 के मूल बराबर होंगे? discriminant को शून्य रखो: k squared minus 36 = 0, यानी k बराबर 6 या minus 6।
उदाहरण 4. वह द्विघात समीकरण बनाओ जिसके मूल 4 और minus 7 हैं। योग minus 3 है और गुणनफल minus 28, इसलिए समीकरण x squared plus 3x minus 28 = 0 होगी।
SSC बार-बार दोहराता है ये जाल
✗ मूलों का योग b over a होता है | ✓ असल में यह minus b over a होता है
✗ D बराबर शून्य का मतलब कोई मूल नहीं | ✓ इसका मतलब दो बराबर वास्तविक मूल हैं
Roots nikalne ki zaroorat nahi hoti. Sum aur product se hi zyadatar sawaal ban jaate hain - yahi is chapter ka sabse bada shortcut hai.
Exam pointer — द्विघात समीकरण से लगभग 1 सवाल आता है, अक्सर बराबर मूलों वाला k का मान type या मूलों से बना कोई expression। दोनों योग और गुणनफल के संबंधों से 25 सेकंड में हो जाते हैं। असल में quadratic को हल करने में 40 सेकंड बर्बाद होते हैं और Tier 1 में इसकी लगभग कभी ज़रूरत नहीं पड़ती।
Frequently Asked Questions
द्विघात समीकरण के मूलों का योग और गुणनफल क्या होता है?
ax squared plus bx plus c के लिए मूलों का योग minus b में a का भाग होता है और गुणनफल c में a का भाग होता है। इन्हीं दो संबंधों से आप ज़्यादातर सवालों का उत्तर बिना समीकरण हल किए निकाल लेते हैं।
Discriminant से क्या पता चलता है?
b squared minus 4ac का मान मूलों की प्रकृति तय करता है। धनात्मक मान पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं, शून्य पर दो बराबर वास्तविक मूल मिलते हैं, और ऋणात्मक मान का मतलब है कि कोई वास्तविक मूल नहीं है।
मूलों से द्विघात समीकरण कैसे बनाएँ?
x squared में से मूलों के योग को x से गुणा करके घटाओ, फिर मूलों का गुणनफल जोड़ो और पूरे को शून्य के बराबर रखो। मूल 4 और minus 7 हों तो इससे x squared plus 3x minus 28 बन जाता है।
मूलों के वर्गों का योग कैसे निकालें?
मूलों के योग का वर्ग करो और उसमें से गुणनफल का दोगुना घटा दो। x squared minus 5x plus 6 के लिए यह 25 minus 12 देता है, यानी 13। यही तरीका हर ऐसे सवाल में सीधे लग जाता है।
60-second recap
- मूलों का योग = -b/a; गुणनफल = c/a।
- मूलों से समीकरण: x squared - (योग)x + गुणनफल।
- D धनात्मक हो तो अलग-अलग वास्तविक मूल; D शून्य हो तो बराबर मूल।
- D ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
- योग और गुणनफल से काम चल रहा हो तो quadratic कभी हल मत करो।