करणी और घातांक
Surds and Indices
Indices are the laws of powers; surds are irrational roots that cannot be simplified away. In SSC CGL the two skills tested are rationalising a denominator by multiplying with the conjugate, and comparing surds by bringing them to a common root order.
Laws of indices
a to the m times a to the n = a to the (m + n)
a to the m divided by a to the n = a to the (m - n)
(a to the m) to the n = a to the mn, and a to the zero = 1
a to the minus n = 1 divided by a to the n
Rationalising the denominator
Multiply the numerator and denominator by the conjugate, which is the same expression with the middle sign reversed. The denominator then becomes a difference of squares and the surd disappears.
Conjugate of (root a - root b) is (root a + root b)
Comparing surds
To compare roots of different orders, raise all of them to the LCM of the orders. The one with the largest resulting number is the largest surd.
Solved examples
Example 1. Rationalise 1 divided by (root 3 minus root 2). Multiply above and below by root 3 plus root 2. The denominator becomes 3 minus 2, which is 1, so the answer is root 3 plus root 2.
Example 2. Simplify (root 5 plus root 3) divided by (root 5 minus root 3). Multiplying by the conjugate gives (5 plus 2 root 15 plus 3) over 2, which is (8 plus 2 root 15) over 2 = 4 plus root 15.
Example 3. If 2 to the power x equals 8, find x. Since 8 is 2 cubed, x = 3.
Example 4. Which is greater, the square root of 3 or the cube root of 4? The LCM of 2 and 3 is 6. Raising both to the sixth power gives 27 and 16, so the square root of 3 is greater.
Example 5. Simplify 5 to the power 4 divided by 5 to the power 2, times 5 to the power minus 1. Add and subtract the exponents: 4 minus 2 minus 1 = 1, so the answer is 5.
Traps SSC repeats
✗ root 2 plus root 3 equals root 5 | ✓ Surds do not add under a single root
✗ a to the zero equals zero | ✓ Any non-zero number to the power zero is 1
Do surd ko jodkar ek surd nahi banaya ja sakta. Root 2 aur root 3 alag hi rahenge - ye sabse aam galti hai.
Exam pointer — Surds and indices give 1 to 2 questions, and rationalisation is the most common form. It is a 30-second question once the conjugate step is automatic. The comparison-of-surds type is quicker still at 20 seconds using the LCM of the root orders, and both are worth attempting in your first pass.
Frequently Asked Questions
How do I rationalise a denominator with a surd?
Multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the denominator, which is the same expression with the sign between the terms reversed. The denominator becomes a difference of squares with no surd left.
How do I compare surds of different orders?
Raise all of them to the power that is the LCM of their root orders. Comparing the resulting whole numbers then tells you which surd is larger.
Can root 2 plus root 3 be written as a single surd?
No. Unlike surds cannot be combined into one root. Only like surds, such as two root 3 and three root 3, can be added together.
What is any number raised to the power zero?
It is 1, for every non-zero base. This appears regularly in simplification questions where the exponents cancel out entirely.
60-second recap
- Multiply exponents on a power of a power; add them when multiplying.
- a to the zero is 1 for any non-zero a.
- Rationalise using the conjugate.
- Compare surds via the LCM of the root orders.
- Unlike surds never combine into one root.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
करणी और घातांक
Indices घातों के नियम हैं; surds ऐसे अपरिमेय मूल हैं जिन्हें सरल करके हटाया नहीं जा सकता। SSC CGL में दो ही कौशल परखे जाते हैं: conjugate से गुणा करके हर का rationalisation, और मूलों की कोटि एक जैसी बनाकर surds की तुलना।
घातांक के नियम
a to the m times a to the n = a to the (m + n)
a to the m divided by a to the n = a to the (m - n)
(a to the m) to the n = a to the mn, and a to the zero = 1
a to the minus n = 1 divided by a to the n
हर का rationalisation
अंश और हर दोनों को हर के conjugate से गुणा करो, यानी उसी expression से जिसमें बीच का चिह्न पलटा हुआ हो। इससे हर वर्गों का अंतर बन जाता है और surd गायब हो जाता है।
(root a - root b) का conjugate है (root a + root b)
Surds की तुलना
अलग-अलग कोटि के मूलों की तुलना करनी हो तो सबको उन कोटियों के LCM की घात तक ले जाओ। जिसका परिणामी अंक सबसे बड़ा आए, वही सबसे बड़ा surd है।
हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1. 1 divided by (root 3 minus root 2) का rationalisation करो। ऊपर और नीचे root 3 plus root 2 से गुणा करो। हर 3 minus 2 बन जाता है, यानी 1, इसलिए उत्तर root 3 plus root 2 है।
उदाहरण 2. (root 5 plus root 3) divided by (root 5 minus root 3) को सरल करो। conjugate से गुणा करने पर (5 plus 2 root 15 plus 3) over 2 मिलता है, यानी (8 plus 2 root 15) over 2 = 4 plus root 15।
उदाहरण 3. अगर 2 to the power x बराबर 8 है, तो x निकालो। 8 का मान 2 cubed है, इसलिए x = 3।
उदाहरण 4. 3 का वर्गमूल बड़ा है या 4 का घनमूल? 2 और 3 का LCM 6 है। दोनों को छठी घात तक ले जाने पर 27 और 16 मिलते हैं, इसलिए 3 का वर्गमूल बड़ा है।
उदाहरण 5. 5 to the power 4 divided by 5 to the power 2, times 5 to the power minus 1 को सरल करो। घातों को जोड़ो और घटाओ: 4 minus 2 minus 1 = 1, इसलिए उत्तर 5 है।
SSC बार-बार दोहराता है ये जाल
✗ root 2 plus root 3 = root 5 मान लेना | ✓ अलग-अलग surds एक ही root के अंदर नहीं जुड़ते
✗ a to the zero बराबर zero होता है | ✓ किसी भी non-zero संख्या की power zero हो तो मान 1 होता है
Do surd ko jodkar ek surd nahi banaya ja sakta. Root 2 aur root 3 alag hi rahenge - ye sabse aam galti hai.
Exam pointer — Surds और indices से 1 से 2 सवाल आते हैं, और rationalisation सबसे आम रूप है। conjugate वाला step आदत बन जाए तो यह 30 सेकंड का सवाल है। surds की तुलना वाला type और भी तेज़ है, मूलों की कोटियों के LCM से 20 सेकंड में हो जाता है, और दोनों को पहले ही pass में attempt करना चाहिए।
Frequently Asked Questions
Surd वाले हर का rationalisation कैसे करें?
अंश और हर दोनों को हर के conjugate से गुणा करो, यानी उसी expression से जिसमें दोनों पदों के बीच का चिह्न पलटा हुआ हो। इससे हर वर्गों का अंतर बन जाता है और उसमें कोई surd बाकी नहीं रहता।
अलग-अलग कोटि के surds की तुलना कैसे करें?
सबको उस घात तक ले जाओ जो उनकी मूल कोटियों का LCM हो। इसके बाद जो पूर्ण संख्याएँ मिलती हैं, उनकी आपस में तुलना कर लो। जिसका मान सबसे बड़ा है, वही surd सबसे बड़ा है।
क्या root 2 plus root 3 को एक ही surd में लिखा जा सकता है?
नहीं। असमान surds को एक ही मूल में नहीं मिलाया जा सकता। सिर्फ़ समान surds, जैसे two root 3 और three root 3, आपस में जोड़े जा सकते हैं, और तब भी मूल वही रहता है, सिर्फ़ गुणांक जुड़ता है।
किसी संख्या की शून्य घात का मान क्या होता है?
हर non-zero आधार के लिए यह 1 होता है। सरलीकरण वाले सवालों में यह नियम बार-बार आता है, खासकर जब सारे घात आपस में कट जाते हैं और अंत में सिर्फ़ आधार की शून्य घात बच जाती है।
60-second recap
- घात की घात में घातों का गुणा; गुणा करते समय घातों का जोड़।
- किसी भी non-zero a के लिए a to the zero बराबर 1।
- Conjugate से rationalisation करो।
- मूलों की कोटियों के LCM से surds की तुलना करो।
- असमान surds कभी एक ही मूल में नहीं जुड़ते।