परिमाप एवं क्षेत्रफल
Perimeter and Area
क्षेत्रमिति से 2 प्रश्न तक आते हैं और यह गणित का सबसे सूत्र-आधारित हिस्सा है। पर असली अंक सूत्र से नहीं, इस समझ से बनते हैं कि विमाएँ बदलने पर क्षेत्रफल कैसे बदलता है — वहीं अधिकांश उम्मीदवार चूकते हैं।
सूत्र पत्रक
| आकृति | क्षेत्रफल | परिमाप |
|---|---|---|
| आयत | ल × चौ | 2(ल + चौ) |
| वर्ग | भुजा² | 4 × भुजा |
| त्रिभुज | ½ × आधार × ऊँचाई | तीनों भुजाओं का योग |
| समांतर चतुर्भुज | आधार × ऊँचाई | 2(a + b) |
| समलंब | ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई | चारों भुजाओं का योग |
| वृत्त | πr² | 2πr |
| समचतुर्भुज | ½ × विकर्ण₁ × विकर्ण₂ | 4 × भुजा |
समचतुर्भुज वाला सूत्र अलग से याद रखिए — उसका क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है, भुजा से नहीं निकलता। यही सबसे अधिक भुलाया जाने वाला सूत्र है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3 ÷ 4) × भुजा²
हीरोन का सूत्र
जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों पर ऊँचाई न दी हो, तब हीरोन का सूत्र लगता है।
s = (a + b + c) ÷ 2 | क्षेत्रफल = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
यहाँ s अर्धपरिमाप है, पूरा परिमाप नहीं — इसे भूल जाना सबसे आम गलती है। सवाल में ऊँचाई न दिखे तो सीधे यही सूत्र सोचिए।
✗ हीरोन के सूत्र में s पूरा परिमाप होता है | ✓ s अर्धपरिमाप है, यानी परिमाप का आधा
विमाएँ बदलने पर क्या होता है
| परिवर्तन | परिमाप | क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| भुजा दोगुनी | दोगुना | चार गुना |
| भुजा तिगुनी | तिगुना | नौ गुना |
| भुजा आधी | आधा | चौथाई |
| त्रिज्या दोगुनी | दोगुनी | चार गुना |
नियम एक ही है — परिमाप विमा के साथ सीधा बदलता है, क्षेत्रफल वर्ग के अनुपात में। इसलिए भुजा 10 प्रतिशत बढ़ने पर क्षेत्रफल 21 प्रतिशत बढ़ता है, 20 नहीं — यह क्रमिक परिवर्तन के सूत्र से निकलता है।
यही बात प्रतिशत वाले सवाल में जाल बनती है। लंबाई 20 प्रतिशत बढ़े और चौड़ाई 20 प्रतिशत घटे तो क्षेत्रफल 4 प्रतिशत घटता है, बराबर नहीं रहता।
रास्ते, किनारे एवं संयुक्त आकृतियाँ
- बाहर की ओर रास्ता हो तो बाहरी आयाम में दोगुनी चौड़ाई जोड़िए — दोनों ओर से।
- अंदर की ओर रास्ता हो तो दोगुनी चौड़ाई घटाइए।
- रास्ते का क्षेत्रफल = बड़ी आकृति का क्षेत्रफल − छोटी आकृति का क्षेत्रफल।
- संयुक्त आकृति को जानी-पहचानी आकृतियों में तोड़िए, फिर जोड़ या घटाइए।
पहला बिंदु सबसे अधिक चूकता है — रास्ता दोनों ओर होता है, इसलिए चौड़ाई दो बार जुड़ती है, एक बार नहीं।
क्षेत्रफल के सवाल में इकाई पर ध्यान दीजिए। यदि लंबाई मीटर में और चौड़ाई सेंटीमीटर में दी हो, तो पहले एक इकाई में लाइए। इकाई की चूक यहाँ सबसे महँगी पड़ती है।
TRE संकेत: भुजा दोगुनी पर क्षेत्रफल चार गुना — यह अनुपात वाला प्रश्न तय है और सीधा दोगुना लिख देना आम गलती है। हीरोन में s अर्धपरिमाप होता है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों से निकलता है, भुजा से नहीं। और रास्ते वाले सवाल में चौड़ाई दो बार जुड़ती है।
60 सेकंड का रिवीजन
- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4) गुणा भुजा का वर्ग होता है।
- तीनों भुजाएँ दी हों तो हीरोन का सूत्र लगता है; s अर्धपरिमाप है।
- भुजा दोगुनी करने पर परिमाप दोगुना पर क्षेत्रफल चार गुना होता है।
- भुजा 10% बढ़ने पर क्षेत्रफल 21% बढ़ता है।
- रास्ते वाले सवाल में चौड़ाई दोनों ओर से जुड़ती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
भुजा दोगुनी करने पर क्षेत्रफल कितना बढ़ता है?
चार गुना, क्योंकि क्षेत्रफल भुजा के वर्ग पर निर्भर करता है। परिमाप केवल दोगुना होता है क्योंकि वह भुजा के सीधे अनुपात में है। सीधे दोगुना लिख देना सबसे आम गलती है और वही विकल्प जाल के रूप में रखा जाता है।
हीरोन का सूत्र कब लगाया जाता है?
जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों पर ऊँचाई न दी हो। इसमें पहले अर्धपरिमाप निकाला जाता है, यानी तीनों भुजाओं के योग का आधा, और फिर s गुणा s घटा a गुणा s घटा b गुणा s घटा c का वर्गमूल लिया जाता है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
दोनों विकर्णों के गुणनफल का आधा लेकर। भुजा से उसका क्षेत्रफल सीधे नहीं निकलता, क्योंकि समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होने पर भी उसका आकार विकर्णों की लंबाई पर निर्भर करता है। यह सूत्र सबसे अधिक भुलाया जाता है।
रास्ते वाले सवाल में चौड़ाई कितनी बार जुड़ती है?
दो बार, क्योंकि रास्ता आकृति के दोनों ओर होता है। यदि बगीचे के चारों ओर दो मीटर चौड़ा रास्ता है तो बाहरी लंबाई में चार मीटर जुड़ेंगे, दो नहीं। रास्ते का क्षेत्रफल बड़ी आकृति में से छोटी आकृति का क्षेत्रफल घटाकर निकलता है।
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