क्षेत्रफल: 2D आकृतियाँ
Area of 2D Figures
Area questions are formula recall plus one substitution. The three formulas that carry most SSC questions are half base times height for a triangle, root three over four times side squared for an equilateral triangle, and pi r squared for a circle. Everything else is a variation.
The formula sheet
| Figure | Area | Note |
|---|---|---|
| Triangle | 1/2 x base x height | Any triangle |
| Equilateral triangle | (root 3 / 4) x side squared | Height is (root 3 / 2) x side |
| Triangle from three sides | Heron's formula | Use when no height is given |
| Rectangle | length x breadth | Diagonal is root of l squared plus b squared |
| Square | side squared, or half of diagonal squared | Diagonal is side times root 2 |
| Parallelogram | base x height | Not base times side |
| Rhombus | 1/2 x d1 x d2 | Diagonals meet at 90 |
| Trapezium | 1/2 x (sum of parallel sides) x height | Height is perpendicular |
| Circle | pi r squared | Circumference is 2 pi r |
Heron's formula and the sector
Heron: s = (a + b + c)/2, area = root of s(s - a)(s - b)(s - c)
Sector area = (angle/360) x pi r squared; arc length = (angle/360) x 2 pi r
Solved examples
Example 1. Find the area of a triangle with sides 13, 14 and 15. The semi-perimeter is 21, so the area is the root of 21 times 8 times 7 times 6, which is the root of 7056 = 84 square units.
Example 2. Find the area of an equilateral triangle of side 8. Apply the formula: root 3 over 4, times 64 = 16 root 3 square units.
Example 3. The perimeter of a rectangle is 60 and its sides are in the ratio 3 to 2. Find its area. The sides are 18 and 12, so the area is 216 square units.
Example 4. Find the area of a quarter circle of radius 7. The full area is 154, so a quarter is 38.5 square units.
Example 5. A rhombus has diagonals 16 and 30. Find its area. Half of 16 times 30 = 240 square units.
Traps SSC repeats
✗ Parallelogram area is base times slant side | ✓ It is base times perpendicular height
✗ Trapezium area uses the slant side as height | ✓ It uses the perpendicular distance between the parallel sides
Height ka matlab hamesha lambvat doori hai, tirchhi bhuja nahi. Parallelogram aur trapezium me yahi galti sabse zyada hoti hai.
Exam pointer — Mensuration supplies 2 to 3 questions in Tier 1 and two-dimensional areas are the larger share. Direct formula questions take 25 seconds. Heron's formula questions take longer because of the square root, so check first whether the three sides form a Pythagorean triple, in which case half base times height is far quicker.
Frequently Asked Questions
What is the area of an equilateral triangle?
It is root 3 divided by 4, multiplied by the square of the side. For a side of 8 units this gives 16 root 3 square units.
When should I use Heron's formula?
When all three sides of a triangle are given but no height is. If the three sides form a Pythagorean triple, use half base times height instead, since it is much faster.
What is the area of a rhombus?
It is half the product of its diagonals. Diagonals of 16 and 30 give an area of 240 square units, and no side length is needed.
How do I find the area of a sector?
Take the angle at the centre divided by 360, and multiply by the full area of the circle. A quarter circle of radius 7 has an area of 38.5 square units.
60-second recap
- Triangle: half base times perpendicular height.
- Equilateral: root 3 over 4, times side squared.
- Heron's formula when only the three sides are known.
- Rhombus: half the product of the diagonals.
- Sector: the angle fraction of pi r squared.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
क्षेत्रफल: 2D आकृतियाँ
क्षेत्रफल के सवाल सिर्फ formula याद रखने और एक बार value रखने का काम हैं। SSC में सबसे ज़्यादा तीन formula चलते हैं — त्रिभुज के लिए आधा x आधार x ऊँचाई, समबाहु त्रिभुज के लिए root 3 / 4 x भुजा का वर्ग, और वृत्त के लिए pi r squared। बाकी सब इन्हीं के रूप हैं।
सभी formula एक जगह
| आकृति | क्षेत्रफल | नोट |
|---|---|---|
| त्रिभुज | 1/2 x आधार x ऊँचाई | कोई भी त्रिभुज |
| समबाहु त्रिभुज | (root 3 / 4) x भुजा का वर्ग | ऊँचाई = (root 3 / 2) x भुजा |
| तीन भुजाओं वाला त्रिभुज | Heron's formula | जब ऊँचाई न दी हो |
| आयत | लंबाई x चौड़ाई | विकर्ण = root of l squared plus b squared |
| वर्ग | भुजा का वर्ग, या विकर्ण के वर्ग का आधा | विकर्ण = भुजा x root 2 |
| समांतर चतुर्भुज | आधार x ऊँचाई | आधार x भुजा नहीं |
| समचतुर्भुज | 1/2 x d1 x d2 | विकर्ण 90 पर मिलते हैं |
| समलंब | 1/2 x (समांतर भुजाओं का योग) x ऊँचाई | ऊँचाई लंबवत होती है |
| वृत्त | pi r squared | परिधि = 2 pi r |
Heron's formula और sector
Heron: s = (a + b + c)/2, क्षेत्रफल = root of s(s - a)(s - b)(s - c)
Sector का क्षेत्रफल = (कोण/360) x pi r squared; चाप की लंबाई = (कोण/360) x 2 pi r
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 13, 14 और 15 भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालिए। अर्ध परिमाप 21 है, तो क्षेत्रफल = root of 21 x 8 x 7 x 6, यानी root of 7056 = 84 वर्ग इकाई।
उदाहरण 2. 8 भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालिए। formula लगाइए: root 3 / 4, गुणा 64 = 16 root 3 वर्ग इकाई।
उदाहरण 3. एक आयत का परिमाप 60 है और भुजाओं का अनुपात 3 : 2 है। क्षेत्रफल निकालिए। भुजाएँ 18 और 12 हैं, तो क्षेत्रफल = 216 वर्ग इकाई।
उदाहरण 4. 7 त्रिज्या वाले चौथाई वृत्त का क्षेत्रफल निकालिए। पूरा क्षेत्रफल 154 है, तो चौथाई भाग = 38.5 वर्ग इकाई।
उदाहरण 5. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 और 30 हैं। क्षेत्रफल निकालिए। 16 गुणा 30 का आधा = 240 वर्ग इकाई।
SSC के दोहराए जाने वाले जाल
✗ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार x तिरछी भुजा | ✓ यह आधार x लंबवत ऊँचाई होता है
✗ समलंब के क्षेत्रफल में तिरछी भुजा को ऊँचाई मान लेना | ✓ इसमें समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी लगती है
Height ka matlab hamesha lambvat doori hai, tirchhi bhuja nahi. Parallelogram aur trapezium me yahi galti sabse zyada hoti hai.
Exam pointer — Tier 1 में Mensuration से 2 से 3 सवाल आते हैं और उनमें द्विविमीय क्षेत्रफल का हिस्सा बड़ा है। सीधे formula वाले सवाल 25 सेकंड लेते हैं। Heron's formula वाले सवाल वर्गमूल की वजह से ज़्यादा समय लेते हैं, इसलिए पहले देखिए कि तीनों भुजाएँ Pythagorean triple तो नहीं बनातीं — ऐसे में आधा x आधार x ऊँचाई कहीं तेज़ पड़ता है।
Frequently Asked Questions
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होता है?
यह root 3 में 4 का भाग देकर, भुजा के वर्ग से गुणा करने पर मिलता है। यानी (root 3 / 4) x भुजा का वर्ग। 8 इकाई भुजा वाले त्रिभुज में यह 16 root 3 वर्ग इकाई आता है।
Heron's formula कब लगाना चाहिए?
जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों पर ऊँचाई न दी हो। अगर तीनों भुजाएँ Pythagorean triple बनाती हों, तो उसकी जगह आधा x आधार x ऊँचाई लगाइए, क्योंकि वह तरीका बहुत तेज़ पड़ता है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होता है?
यह उसके दोनों विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। 16 और 30 के विकर्ण होने पर क्षेत्रफल 240 वर्ग इकाई आता है, और इसके लिए भुजा की लंबाई जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।
Sector का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
केंद्र पर बने कोण में 360 का भाग दीजिए और उसे वृत्त के पूरे क्षेत्रफल से गुणा कर दीजिए। 7 त्रिज्या वाले चौथाई वृत्त का क्षेत्रफल इसी तरह 38.5 वर्ग इकाई आता है।
60-second recap
- त्रिभुज: आधा x आधार x लंबवत ऊँचाई।
- समबाहु: root 3 / 4, गुणा भुजा का वर्ग।
- सिर्फ तीन भुजाएँ पता हों तो Heron's formula।
- समचतुर्भुज: दोनों विकर्णों के गुणनफल का आधा।
- Sector: pi r squared का कोण वाला हिस्सा।