पूरक कोण
Complementary Angles
Two angles are complementary when they add to 90 degrees. Under that condition each ratio turns into its co-ratio: sine becomes cosine, tangent becomes cotangent, and secant becomes cosecant. Recognising a complementary pair collapses a long expression into a number in one line.
The conversion rules
sin(90 - x) = cos x and cos(90 - x) = sin x
tan(90 - x) = cot x and cot(90 - x) = tan x
sec(90 - x) = cosec x and cosec(90 - x) = sec x
Spotting the pair
Check whether the two angles in the expression add to 90. If sin 35 and cos 55 both appear, they are the same value, so their ratio is 1 and their difference is 0.
| Expression | Because | Value |
|---|---|---|
| sin 35 / cos 55 | cos 55 = sin 35 | 1 |
| tan 20 x tan 70 | tan 70 = cot 20 | 1 |
| sin 40 - cos 50 | cos 50 = sin 40 | 0 |
| sec 25 / cosec 65 | cosec 65 = sec 25 | 1 |
The long product chain
A product such as tan 1 times tan 2 and so on up to tan 89 pairs off from both ends. Each pair multiplies to 1, and the middle term tan 45 is also 1.
tan 1 x tan 2 x ... x tan 89 = 1
Solved examples
Example 1. Find the value of sin 35 divided by cos 55. Since the angles add to 90, the two are equal, so the answer is 1.
Example 2. Evaluate tan 10 times tan 80. Because tan 80 equals cot 10, the product is 1.
Example 3. Evaluate cos 1 times cos 2 times cos 3 up to cos 180. The chain contains cos 90, which is zero, so the whole product is 0.
Example 4. If sin 3A equals cos (A minus 26) and 3A is acute, find A. The angles must be complementary, so 3A plus A minus 26 = 90, giving 4A = 116 and A = 29 degrees.
Example 5. Evaluate sin squared 20 plus sin squared 70. Since sin 70 equals cos 20, the sum is sine squared plus cosine squared = 1.
Traps SSC repeats
✗ sin(90 - x) = -sin x | ✓ It equals cos x
✗ A long product of cosines is always positive | ✓ If cos 90 appears anywhere, the product is zero
Do angle ka jod 90 dikhte hi ratio badal do. sin 35 aur cos 55 ek hi cheez hain - yahi is topic ka poora shortcut hai.
Exam pointer — Complementary angle questions appear in about 1 question per shift and are among the quickest in the paper, taking 15 seconds. The long-chain question is the one to watch: check whether a zero-valued term such as cos 90 sits inside the product before doing any work, since that alone settles the answer.
Frequently Asked Questions
What is sin of 90 minus theta?
It equals cos theta. Similarly cos of 90 minus theta is sin theta, tan becomes cot, and sec becomes cosec. These conversions apply whenever two angles add to 90 degrees.
How do I spot a complementary angle question?
Add the two angles that appear in the expression. If they total 90 degrees, replace one ratio with its co-ratio, and the expression usually reduces to 1 or 0.
What is the value of tan 1 times tan 2 up to tan 89?
It is 1. The terms pair off from both ends, each pair multiplying to 1, and the middle term tan 45 also equals 1.
How do I solve sin 3A equals cos of A minus 26?
Set the two angles as complementary, so their sum is 90 degrees. Solving 3A plus A minus 26 equals 90 gives A equal to 29 degrees.
60-second recap
- Angles adding to 90 swap each ratio for its co-ratio.
- sin 35 equals cos 55, so their ratio is 1.
- tan x times tan(90 - x) equals 1.
- Long chains: check for a zero term first.
- Equation form: set the two angles summing to 90.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
पूरक कोण
दो कोण पूरक कहलाते हैं जब उनका योग 90 डिग्री हो। इस स्थिति में हर अनुपात अपने सह-अनुपात में बदल जाता है: sine बनता है cosine, tangent बनता है cotangent, और secant बनता है cosecant। पूरक जोड़ी पहचान लेने भर से लंबा व्यंजक एक ही पंक्ति में एक संख्या बन जाता है।
बदलने के नियम
sin(90 - x) = cos x और cos(90 - x) = sin x
tan(90 - x) = cot x और cot(90 - x) = tan x
sec(90 - x) = cosec x और cosec(90 - x) = sec x
जोड़ी पहचानना
देखिए कि व्यंजक के दोनों कोणों का योग 90 बनता है या नहीं। अगर sin 35 और cos 55 दोनों दिखें, तो दोनों का मान एक ही है, इसलिए इनका अनुपात 1 और अंतर 0 होगा।
| व्यंजक | कारण | मान |
|---|---|---|
| sin 35 / cos 55 | cos 55 = sin 35 | 1 |
| tan 20 x tan 70 | tan 70 = cot 20 | 1 |
| sin 40 - cos 50 | cos 50 = sin 40 | 0 |
| sec 25 / cosec 65 | cosec 65 = sec 25 | 1 |
लंबी गुणनफल शृंखला
tan 1 गुणा tan 2 से लेकर tan 89 तक जैसा गुणनफल दोनों सिरों से जोड़ियों में कट जाता है। हर जोड़ी का गुणनफल 1 आता है, और बीच वाला पद tan 45 भी 1 ही है।
tan 1 x tan 2 x ... x tan 89 = 1
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. sin 35 बटा cos 55 का मान निकालिए। कोणों का योग 90 है, इसलिए दोनों बराबर हैं और उत्तर 1 है।
उदाहरण 2. tan 10 गुणा tan 80 का मान निकालिए। चूँकि tan 80 = cot 10 है, गुणनफल 1 है।
उदाहरण 3. cos 1 गुणा cos 2 गुणा cos 3 से cos 180 तक का मान निकालिए। शृंखला में cos 90 आता है, जो शून्य है, इसलिए पूरा गुणनफल 0 है।
उदाहरण 4. अगर sin 3A = cos (A घटा 26) है और 3A न्यून कोण है, तो A निकालिए। कोण पूरक होने चाहिए, इसलिए 3A जोड़ A घटा 26 = 90, यानी 4A = 116 और A = 29 डिग्री।
उदाहरण 5. sin squared 20 जोड़ sin squared 70 का मान निकालिए। चूँकि sin 70 = cos 20 है, योग बनता है sine squared जोड़ cosine squared = 1।
SSC के दोहराए जाने वाले जाल
✗ sin(90 - x) = -sin x | ✓ यह cos x के बराबर होता है
✗ cosine का लंबा गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है | ✓ अगर कहीं भी cos 90 आ गया, तो गुणनफल शून्य है
Do angle ka jod 90 dikhte hi ratio badal do. sin 35 aur cos 55 ek hi cheez hain - yahi is topic ka poora shortcut hai.
Exam pointer — पूरक कोण वाले सवाल हर shift में लगभग 1 आते हैं और पूरे पेपर के सबसे तेज़ सवालों में हैं, जिनमें 15 सेकंड लगते हैं। ध्यान लंबी शृंखला वाले सवाल पर रखिए: कोई भी काम शुरू करने से पहले देख लीजिए कि गुणनफल के भीतर cos 90 जैसा शून्य मान वाला पद तो नहीं है, क्योंकि इतने भर से उत्तर तय हो जाता है।
Frequently Asked Questions
sin of 90 घटा theta कितना होता है?
यह cos theta के बराबर होता है। इसी तरह cos of 90 घटा theta बराबर sin theta होता है, tan बनता है cot और sec बनता है cosec। ये बदलाव तभी लगते हैं जब दो कोणों का योग 90 डिग्री हो।
पूरक कोण वाला सवाल कैसे पहचानें?
व्यंजक में आए दोनों कोण जोड़ लीजिए। अगर योग 90 डिग्री बनता है, तो एक अनुपात को उसके सह-अनुपात से बदल दीजिए, और व्यंजक आमतौर पर 1 या 0 पर सिमट जाता है।
tan 1 गुणा tan 2 से tan 89 तक का मान क्या है?
यह 1 है। पद दोनों सिरों से जोड़ियों में कटते हैं, हर जोड़ी का गुणनफल 1 आता है, और बीच वाला पद tan 45 भी 1 के बराबर होता है।
sin 3A = cos of A घटा 26 को कैसे हल करें?
दोनों कोणों को पूरक मान लीजिए, यानी उनका योग 90 डिग्री। 3A जोड़ A घटा 26 बराबर 90 हल करने पर A का मान 29 डिग्री आता है।
60-second recap
- 90 का योग बनाने वाले कोण हर अनुपात को सह-अनुपात में बदल देते हैं।
- sin 35 = cos 55, इसलिए इनका अनुपात 1 है।
- tan x गुणा tan(90 - x) बराबर 1 होता है।
- लंबी शृंखला में पहले शून्य वाला पद देखिए।
- समीकरण वाले रूप में दोनों कोणों का योग 90 रखिए।