Counting Figures

Counting figure questions ask how many triangles, squares or rectangles a diagram contains. Count by size, smallest first, then combinations, rather than randomly. For grids, two formulas replace counting entirely, which is why grid questions should always be answered by formula.

Grid formulas

Squares in an n by n grid = n(n + 1)(2n + 1)/6

Rectangles in an m by n grid = [m(m+1)/2] x [n(n+1)/2]

For a 3 by 3 grid, the squares total 14 and the rectangles total 36. The rectangle count includes the squares, which is the distinction most often missed.

Counting triangles systematically

1. Count the smallest triangles first and write the number down.
2. Count triangles made of two smallest triangles.
3. Count those made of three, then four, and so on.
4. Add the totals; never count in a random order.

Count by size class and add; random counting always misses overlaps

Worked approach

Approach 1. In a triangle divided by three lines from one vertex, count the four smallest triangles, then those formed by pairs, then by triples, and finally the whole. Writing each size class on its own line prevents double counting.

Approach 2. For a 4 by 4 grid, apply the square formula: 4 times 5 times 9, divided by 6, which gives 30. Counting by hand would take two minutes and still risk an error.

Approach 3. For rectangles in a 3 by 3 grid, apply the formula: 6 times 6 = 36. Since squares are also rectangles, the 14 squares are already included in that total.

Why hand counting fails

Counting at random misses the medium-sized figures formed by combining smaller ones, which is where most of the count usually sits. In a triangle split by three cevians, the smallest triangles are obvious and the combined ones are not, so the class-by-class method is not a preference but a requirement.

Traps SSC repeats

✗ Count triangles in whatever order you spot them  |  ✓ Count by size class, smallest first

✗ Rectangles and squares are counted separately  |  ✓ Every square is also a rectangle

Frequently Asked Questions

How many squares are there in a 3 by 3 grid?

There are 14: nine of size one, four of size two and one of size three. The formula n times n plus 1 times 2n plus 1, divided by 6, gives this directly.

How many rectangles are in a 3 by 3 grid?

There are 36, found by multiplying 6 by 6 using the formula. This total already includes all 14 squares, since every square is also a rectangle.

What is the best way to count triangles?

Count by size class: all the smallest triangles first, then those made of two, then three, and so on. Adding the class totals avoids the double counting that random scanning causes.

Should I attempt every counting figure question?

Attempt grid-based ones, which take 15 seconds with a formula. An irregular figure needing hand counting can take a minute and is a reasonable skip under the sectional timer.

आकृतियाँ गिनना

Counting figure के सवालों में पूछा जाता है कि किसी चित्र में कितने triangles, squares या rectangles हैं। बेतरतीब नहीं, size के हिसाब से गिनिए, पहले सबसे छोटी और फिर जोड़-मिलाकर बनने वाली। Grid वाले सवालों में दो formulas गिनने की ज़रूरत ही ख़त्म कर देते हैं, इसलिए grid के सवाल हमेशा formula से ही कीजिए।

Grid के formulas

n by n grid में squares = n(n + 1)(2n + 1)/6

m by n grid में rectangles = [m(m+1)/2] x [n(n+1)/2]

3 by 3 grid में squares कुल 14 होते हैं और rectangles कुल 36। Rectangle की गिनती में squares भी शामिल होते हैं, और यही फ़र्क़ सबसे ज़्यादा छूटता है।

Triangles व्यवस्थित तरीक़े से गिनना

1. पहले सबसे छोटे triangles गिनिए और संख्या लिख लीजिए।
2. दो सबसे छोटे triangles से बनने वाले triangles गिनिए।
3. फिर तीन से बनने वाले, फिर चार से, और इसी तरह आगे।
4. सारे जोड़ जोड़ दीजिए; कभी बेतरतीब क्रम में मत गिनिए।

size के वर्ग के हिसाब से गिनकर जोड़िए; बेतरतीब गिनती में overlap हमेशा छूटते हैं

हल करने का तरीक़ा

तरीक़ा 1. एक triangle जिसे एक ही शीर्ष से तीन रेखाएँ काटती हों, उसमें पहले चार सबसे छोटे triangles गिनिए, फिर दो-दो से बनने वाले, फिर तीन-तीन से, और आख़िर में पूरा। हर size वर्ग को अलग पंक्ति में लिखने से दोबारा गिनने की ग़लती नहीं होती।

तरीक़ा 2. 4 by 4 grid के लिए square वाला formula लगाइए: 4 गुणा 5 गुणा 9, भाग 6, जिससे 30 आता है। हाथ से गिनने में दो मिनट लगते और फिर भी ग़लती का ख़तरा रहता।

तरीक़ा 3. 3 by 3 grid में rectangles के लिए formula लगाइए: 6 गुणा 6 = 36। चूँकि squares भी rectangles ही होते हैं, इसलिए वे 14 squares इसी कुल में पहले से शामिल हैं।

हाथ से गिनना क्यों धोखा देता है

बेतरतीब गिनने में वे मँझोली आकृतियाँ छूट जाती हैं जो छोटी आकृतियों को मिलाकर बनती हैं, और असल गिनती का ज़्यादातर हिस्सा वहीं होता है। तीन cevians से बँटे triangle में सबसे छोटे triangles तो साफ़ दिखते हैं पर मिलकर बनने वाले नहीं, इसलिए वर्ग दर वर्ग गिनना पसंद नहीं, मजबूरी है।

SSC जो ग़लतियाँ बार-बार करवाता है

✗ Triangles को जिस क्रम में दिखें उसी क्रम में गिनना  |  ✓ size वर्ग के हिसाब से गिनना, पहले सबसे छोटे

✗ Rectangles और squares अलग-अलग गिने जाते हैं  |  ✓ हर square भी एक rectangle ही होता है

Frequently Asked Questions

3 by 3 grid में कितने squares होते हैं?

कुल 14: size एक के नौ, size दो के चार और size तीन का एक। Formula n गुणा n जोड़ 1 गुणा 2n जोड़ 1, भाग 6, यही संख्या सीधे दे देता है।

3 by 3 grid में कितने rectangles होते हैं?

कुल 36, जो formula से 6 गुणा 6 करके मिलते हैं। इस कुल में वे सारे 14 squares पहले से शामिल हैं, क्योंकि हर square भी एक rectangle ही होता है।

Triangles गिनने का सबसे अच्छा तरीक़ा क्या है?

size वर्ग के हिसाब से गिनिए: पहले सारे सबसे छोटे triangles, फिर दो से बनने वाले, फिर तीन से, और इसी तरह आगे। वर्गों के जोड़ को जोड़ने से वह दोहरी गिनती नहीं होती जो बेतरतीब देखने से होती है।

क्या counting figure के हर सवाल को करना चाहिए?

Grid वाले ज़रूर कीजिए, वे formula से 15 सेकंड में हो जाते हैं। हाथ से गिनने वाली अनियमित आकृति में एक मिनट तक लग सकता है, इसलिए sectional timer में उसे छोड़ना समझदारी है।