भिन्न एवं दशमलव संख्याएँ
Fractions and Decimals
इस विषय से 1 से 2 प्रश्न आते हैं और वे प्रायः तुलना, संक्रिया या रूपांतरण के होते हैं। नियम कम हैं, इसलिए एक बार पकड़ लेने पर ये प्रश्न बिना लंबी गणना के हल हो जाते हैं और समय बचता है।
भिन्न के प्रकार
- उचित — अंश हर से छोटा: 3/5।
- विषम — अंश हर से बड़ा: 7/4।
- मिश्र — पूर्ण संख्या के साथ भिन्न: 1¾।
- तुल्य — मान समान, रूप भिन्न: 1/2 = 2/4।
- समहर — हर समान; विषमहर — हर भिन्न।
तुलना का सबसे तेज़ तरीका तिरछा गुणा है — ल.स. निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती। 3/5 और 4/7 में 3×7 = 21 और 4×5 = 20, इसलिए 3/5 बड़ी है।
✗ बड़े हर वाली भिन्न हमेशा बड़ी होती है | ✓ अंश समान हो तो बड़ा हर छोटी भिन्न देता है; तुलना तिरछे गुणा से कीजिए
भिन्नों पर संक्रियाएँ
जोड़-घटाव: पहले समान हर बनाइए | गुणा: अंश × अंश, हर × हर
भाग में दूसरी भिन्न को उलटकर गुणा किया जाता है — 3/4 ÷ 2/5 का अर्थ है 3/4 × 5/2। यही सबसे आम भूल की जगह है, क्योंकि उम्मीदवार पहली भिन्न उलट देते हैं।
गुणा और भाग में समान हर बनाने की ज़रूरत नहीं होती, केवल जोड़ और घटाव में होती है। यह अंतर याद रखने से आधी गलतियाँ बच जाती हैं।
दशमलव एवं उनका रूपांतरण
| भिन्न | दशमलव | प्रतिशत |
|---|---|---|
| 1/2 | 0.5 | 50% |
| 1/3 | 0.333... | 33⅓% |
| 1/4 | 0.25 | 25% |
| 1/5 | 0.2 | 20% |
| 1/8 | 0.125 | 12½% |
| 3/4 | 0.75 | 75% |
यह तालिका तीन विषयों में काम आती है — भिन्न, दशमलव और प्रतिशत, इसलिए इसे एक बार पूरी याद कर लेना सबसे अधिक लाभ देता है।
भिन्न का दशमलव सांत तभी होता है जब हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। 1/8 सांत है क्योंकि 8 = 2³, पर 1/3 आवर्ती है क्योंकि हर में 3 है। यह कारण-आधारित प्रश्न स्नातक स्तर पर आता है।
दशमलव में गुणा एवं भाग
- गुणा में दशमलव हटाकर गुणा कीजिए, फिर दोनों संख्याओं के दशमलव स्थानों का योग गिनकर उतने स्थान लगा दीजिए।
- भाग में भाजक को पूर्ण संख्या बनाइए — दोनों को 10, 100 से गुणा करके — फिर सामान्य भाग कीजिए।
दशमलव स्थान गिनने का नियम: 0.2 × 0.03 में एक और दो स्थान हैं, कुल तीन। 2 × 3 = 6, इसलिए उत्तर 0.006 होगा। गिनती सही तो उत्तर सही।
TRE संकेत: तिरछा गुणा तुलना का सबसे तेज़ तरीका है, इसकी आदत डालिए। भाग में दूसरी भिन्न उलटती है, पहली नहीं — यह भूल सबसे आम है। सांत दशमलव का नियम — हर में केवल 2 और 5 — स्नातक स्तर का प्रश्न है और वही आपको सामान्य उम्मीदवार से अलग करता है।
60 सेकंड का रिवीजन
- उचित भिन्न में अंश छोटा, विषम में बड़ा होता है।
- तुलना के लिए तिरछा गुणा सबसे तेज़ तरीका है।
- जोड़-घटाव में समान हर चाहिए, गुणा-भाग में नहीं।
- भाग में दूसरी भिन्न को उलटकर गुणा किया जाता है।
- 1/4 यानी 0.25 और 25 प्रतिशत।
- हर में केवल 2 और 5 हों तभी दशमलव सांत होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
भिन्न का भाग कैसे किया जाता है?
दूसरी भिन्न को उलटकर पहली से गुणा किया जाता है। तीन बटा चार में दो बटा पाँच का भाग देने पर वह तीन बटा चार गुणा पाँच बटा दो बन जाता है। सबसे आम भूल पहली भिन्न को उलट देना है, इसलिए यह क्रम ध्यान से याद रखिए।
कौन-सी भिन्न का दशमलव सांत होता है?
वही, जिसके सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल दो और पाँच हों। एक बटा आठ सांत है क्योंकि आठ दो का घन है। एक बटा तीन आवर्ती है क्योंकि हर में तीन है, जो न दो है न पाँच।
दो भिन्नों में बड़ी कौन-सी है, यह कैसे तय करें?
तिरछे गुणा से। पहली का अंश दूसरी के हर से और दूसरी का अंश पहली के हर से गुणा कीजिए। जिस ओर का गुणनफल बड़ा हो वही भिन्न बड़ी है। इससे ल.स. निकालने की लंबी प्रक्रिया से बचा जा सकता है।
दशमलव के गुणनफल में दशमलव स्थान कैसे तय करें?
दोनों संख्याओं के दशमलव स्थानों को जोड़ लीजिए और उतने ही स्थान उत्तर में लगाइए। शून्य दशमलव दो गुणा शून्य दशमलव शून्य तीन में एक और दो स्थान हैं, कुल तीन। दो गुणा तीन बराबर छह, इसलिए उत्तर शून्य दशमलव शून्य शून्य छह होगा।
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