अधिकतम और न्यूनतम मान
Maximum and Minimum Value
Maximum and minimum questions in SSC CGL come in three shapes: a quadratic expression, an expression of the form x plus one over x, and a product with a fixed sum. Each has a one-line rule, so none of them needs calculus or trial substitution.
Quadratic extremes
For ax squared + bx + c: extreme value = (4ac - b squared)/4a, at x = -b/2a
If a is positive the parabola opens upward and the value is a minimum. If a is negative it opens downward and the value is a maximum. Reading the sign of a is the whole decision.
The x plus one over x bound
For positive x, the minimum of x + 1/x is 2. For negative x, the maximum is -2.
Fixed sum and fixed product
| Given | Result | When it occurs |
|---|---|---|
| Sum of two positives is fixed | Product is maximum | When the numbers are equal |
| Product of two positives is fixed | Sum is minimum | When the numbers are equal |
| Sum of squares is fixed | Sum is maximum | When the numbers are equal |
Solved examples
Example 1. Find the minimum value of x squared minus 6x plus 13. Here a is 1, b is minus 6 and c is 13, so the value is (52 minus 36) divided by 4 = 4, occurring at x = 3.
Example 2. If x plus y equals 10, find the maximum value of xy. The product is largest when the numbers are equal, so x = y = 5 and the product is 25.
Example 3. Find the maximum value of 5 minus (x minus 2) squared. A square is never negative, so the largest value comes when the square is zero, giving 5 at x = 2.
Example 4. Find the minimum value of x plus one over x for positive x. It is 2, reached when x equals 1.
Example 5. Find the maximum value of minus 2x squared plus 8x minus 3. Since a is negative, this has a maximum: (4 times minus 2 times minus 3 minus 64) divided by minus 8 = (24 minus 64) divided by minus 8 = 5.
Traps SSC repeats
✗ Every quadratic has a minimum | ✓ It has a minimum only when the leading coefficient is positive
✗ x + 1/x can be smaller than 2 | ✓ For positive x it never falls below 2
Sabse pehle a ka sign dekho. a positive hai to minimum milega, negative hai to maximum - iske baad hi formula lagao.
Exam pointer — Maximum and minimum gives at most 1 question, and it is usually the quadratic type or a perfect-square expression. Both are 25-second questions with the formula. Trigonometric maximum and minimum questions are set separately in the trigonometry chapter and use a different rule, so keep the two apart in your revision.
Frequently Asked Questions
How do I find the minimum value of a quadratic expression?
Use the formula 4ac minus b squared, all divided by 4a. When the coefficient of x squared is positive this gives a minimum, and it occurs at x equal to minus b over 2a.
What is the minimum value of x plus one over x?
It is 2 for positive values of x, reached when x equals 1. For negative values of x, the expression has a maximum of minus 2 instead.
If two numbers have a fixed sum, when is their product largest?
When the two numbers are equal. If the sum is 10, the maximum product is 25, obtained when both numbers are 5.
How do I handle an expression with a perfect square in it?
A square is never negative, so the expression reaches its extreme when the square equals zero. Set the bracket to zero and read off the remaining constant.
60-second recap
- Quadratic extreme = (4ac - b squared)/4a at x = -b/2a.
- Positive leading coefficient gives a minimum; negative gives a maximum.
- x + 1/x has minimum 2 for positive x.
- Fixed sum: product is largest when the numbers are equal.
- A perfect square is smallest at zero.
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हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
अधिकतम और न्यूनतम मान
SSC CGL में अधिकतम और न्यूनतम के सवाल तीन रूपों में आते हैं: कोई द्विघात expression, x plus one over x जैसा expression, और नियत योग वाला गुणनफल। हर रूप का एक-पंक्ति का नियम है, इसलिए इनमें से किसी में calculus या मान रखकर आज़माने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
द्विघात के चरम मान
ax squared + bx + c के लिए: extreme value = (4ac - b squared)/4a, x = -b/2a पर
अगर a धनात्मक है तो parabola ऊपर की ओर खुलता है और मान न्यूनतम होता है। अगर a ऋणात्मक है तो वह नीचे की ओर खुलता है और मान अधिकतम होता है। a का चिह्न पढ़ लेना ही पूरा फैसला है।
x plus one over x की सीमा
धनात्मक x के लिए x + 1/x का न्यूनतम मान 2 है। ऋणात्मक x के लिए अधिकतम मान -2 है।
नियत योग और नियत गुणनफल
| दिया है | परिणाम | कब मिलता है |
|---|---|---|
| दो धनात्मक संख्याओं का योग नियत | गुणनफल अधिकतम | जब दोनों संख्याएँ बराबर हों |
| दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल नियत | योग न्यूनतम | जब दोनों संख्याएँ बराबर हों |
| वर्गों का योग नियत | योग अधिकतम | जब दोनों संख्याएँ बराबर हों |
हल किए हुए उदाहरण
उदाहरण 1. x squared minus 6x plus 13 का न्यूनतम मान निकालो। यहाँ a = 1, b = minus 6 और c = 13 है, इसलिए मान (52 minus 36) divided by 4 = 4 है, जो x = 3 पर मिलता है।
उदाहरण 2. अगर x plus y बराबर 10 है, तो xy का अधिकतम मान निकालो। गुणनफल तब सबसे बड़ा होता है जब संख्याएँ बराबर हों, इसलिए x = y = 5 और गुणनफल 25 है।
उदाहरण 3. 5 minus (x minus 2) squared का अधिकतम मान निकालो। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए सबसे बड़ा मान तब आता है जब वर्ग शून्य हो, यानी x = 2 पर मान 5।
उदाहरण 4. धनात्मक x के लिए x plus one over x का न्यूनतम मान निकालो। यह 2 है, जो x बराबर 1 पर मिलता है।
उदाहरण 5. minus 2x squared plus 8x minus 3 का अधिकतम मान निकालो। a ऋणात्मक है, इसलिए यहाँ अधिकतम मिलेगा: (4 times minus 2 times minus 3 minus 64) divided by minus 8 = (24 minus 64) divided by minus 8 = 5।
SSC बार-बार दोहराता है ये जाल
✗ हर द्विघात का न्यूनतम मान होता है | ✓ न्यूनतम तभी होता है जब leading coefficient धनात्मक हो
✗ x + 1/x का मान 2 से छोटा हो सकता है | ✓ धनात्मक x के लिए यह कभी 2 से नीचे नहीं जाता
Sabse pehle a ka sign dekho. a positive hai to minimum milega, negative hai to maximum - iske baad hi formula lagao.
Exam pointer — अधिकतम और न्यूनतम से ज़्यादा से ज़्यादा 1 सवाल आता है, और वह आमतौर पर द्विघात वाला type या perfect square वाला expression होता है। formula लगाओ तो दोनों 25 सेकंड के सवाल हैं। Trigonometry के अधिकतम-न्यूनतम सवाल अलग से trigonometry chapter में आते हैं और उनका नियम अलग है, इसलिए revision में दोनों को अलग-अलग रखो।
Frequently Asked Questions
द्विघात expression का न्यूनतम मान कैसे निकालें?
सूत्र 4ac minus b squared में 4a का भाग दे दो। जब x squared का गुणांक धनात्मक होता है तो यही मान न्यूनतम होता है, और यह x बराबर minus b over 2a पर मिलता है। गुणांक ऋणात्मक हो तो वही सूत्र अधिकतम देता है।
x plus one over x का न्यूनतम मान क्या है?
धनात्मक x के लिए यह 2 होता है, और x बराबर 1 पर मिलता है। ऋणात्मक x के लिए इस expression का न्यूनतम नहीं, बल्कि अधिकतम मान होता है, जो minus 2 है। SSC यही उलटफेर बार-बार पूछता है।
दो संख्याओं का योग नियत हो तो गुणनफल कब सबसे बड़ा होता है?
जब दोनों संख्याएँ बराबर हों। अगर योग 10 है, तो अधिकतम गुणनफल 25 होता है, जो दोनों संख्याएँ 5 लेने पर मिलता है। यही नियम उलटकर नियत गुणनफल पर न्यूनतम योग के लिए भी लगता है।
जिस expression में perfect square हो, उसे कैसे हल करें?
वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए expression का चरम मान तभी आता है जब वह वर्ग शून्य हो जाए। कोष्ठक को शून्य के बराबर रखो और बचा हुआ अचर ही उत्तर होता है। इसमें कोई formula लगाने की ज़रूरत नहीं।
60-second recap
- द्विघात का चरम मान = (4ac - b squared)/4a, x = -b/2a पर।
- leading coefficient धनात्मक हो तो न्यूनतम; ऋणात्मक हो तो अधिकतम।
- धनात्मक x के लिए x + 1/x का न्यूनतम 2 है।
- योग नियत हो: संख्याएँ बराबर होने पर गुणनफल सबसे बड़ा।
- perfect square शून्य पर सबसे छोटा होता है।
अब इन algebra सवालों की practice ExamAtlas पर मुफ़्त SSC CGL Tier 1 mock test में करो।