त्रिभुज और सर्वांगसमता
Triangles and Congruence
A triangle's angles add to 180 degrees, and an exterior angle equals the sum of the two opposite interior angles. Congruence is tested by SSS, SAS, ASA, AAS and RHS, while similarity needs only AA. SSC tests the difference between congruence and similarity almost every year.
Core triangle properties
Angle sum = 180; exterior angle = sum of the two opposite interior angles
Sum of any two sides is greater than the third side
The side-sum inequality answers the common question asking whether three given lengths can form a triangle. Check only the two smallest against the largest.
Congruence and similarity
| Criterion | Type | What it needs |
|---|---|---|
| SSS | Congruence | All three sides equal |
| SAS | Congruence | Two sides and the included angle |
| ASA and AAS | Congruence | Two angles and one side |
| RHS | Congruence | Right angle, hypotenuse, one side |
| AA | Similarity | Two angles equal |
| SSS similarity | Similarity | All three sides in the same ratio |
AAA proves similarity, never congruence. Two triangles with the same angles can differ in size, which is exactly the distinction SSC tests.
Ratios in similar triangles
Sides in ratio a : b means areas in ratio a squared : b squared
The midpoint theorem
The line joining the midpoints of two sides is parallel to the third side and equal to half of it.
Solved examples
Example 1. In a triangle, two angles are 55 and 65 degrees. Find the exterior angle at the third vertex. It equals the sum of the two opposite interior angles, which is 120 degrees.
Example 2. Can 5, 9 and 15 form a triangle? The two smaller sides give 5 plus 9 = 14, which is less than 15, so no triangle is possible.
Example 3. Two similar triangles have sides in the ratio 3 to 5. Find the ratio of their areas. It is the square of the side ratio, which is 9 to 25.
Example 4. In a right triangle, the sides are 6 and 8 units. Find the hypotenuse and the length of the median to it. The hypotenuse is 10, and the median to the hypotenuse is half of it, which is 5 units.
Traps SSC repeats
✗ AAA proves two triangles congruent | ✓ AAA proves similarity only
✗ Similar triangles have areas in the ratio of their sides | ✓ Areas follow the square of the side ratio
Congruent ka matlab hai bilkul barabar, similar ka matlab hai ek jaisi shakl par alag size. AAA sirf similar sabit karta hai.
Exam pointer — Triangles are the densest part of the geometry syllabus, supplying 1 to 2 questions directly and feeding into the centres and circle questions. The similarity area-ratio question appears very often and takes 20 seconds. Congruence-criterion questions are pure recall, so they should never be left unattempted.
Frequently Asked Questions
What is the difference between congruence and similarity?
Congruent triangles are identical in both shape and size, while similar triangles have the same shape but may differ in size. AAA establishes similarity but never congruence.
Which criteria prove two triangles congruent?
SSS, SAS, ASA, AAS and RHS. The RHS rule applies only to right-angled triangles and uses the right angle, the hypotenuse and one other side.
How are the areas of similar triangles related?
The ratio of their areas equals the square of the ratio of their corresponding sides. Sides in the ratio 3 to 5 give areas in the ratio 9 to 25.
How do I check whether three lengths can form a triangle?
Add the two shorter lengths and compare with the longest. If the sum is greater than the longest side a triangle is possible; if it is equal or smaller, it is not.
60-second recap
- Angles add to 180; exterior angle equals the two opposite interiors.
- Congruence: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS. Similarity: AA.
- AAA gives similarity, never congruence.
- Area ratio is the square of the side ratio.
- Midpoint segment is parallel to and half the third side.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
त्रिभुज और सर्वांगसमता
त्रिभुज के कोणों का जोड़ 180 degrees होता है, और बाहरी कोण दोनों विपरीत आंतरिक कोणों के जोड़ के बराबर होता है। Congruence की जाँच SSS, SAS, ASA, AAS और RHS से होती है, जबकि similarity के लिए सिर्फ AA काफी है। SSC लगभग हर साल congruence और similarity का अंतर पूछता है।
त्रिभुज के मूल गुण
कोणों का जोड़ = 180; बाहरी कोण = दोनों विपरीत आंतरिक कोणों का जोड़
किन्हीं दो भुजाओं का जोड़ तीसरी भुजा से बड़ा होता है
यही भुजा-जोड़ असमानता उस आम प्रश्न का उत्तर देती है जिसमें पूछा जाता है कि दी गई तीन लंबाइयाँ त्रिभुज बना सकती हैं या नहीं। सिर्फ दो सबसे छोटी को सबसे बड़ी के सामने जाँचिए।
Congruence और similarity
| कसौटी | प्रकार | क्या चाहिए |
|---|---|---|
| SSS | Congruence | तीनों भुजाएँ बराबर |
| SAS | Congruence | दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण |
| ASA और AAS | Congruence | दो कोण और एक भुजा |
| RHS | Congruence | समकोण, कर्ण, एक भुजा |
| AA | Similarity | दो कोण बराबर |
| SSS similarity | Similarity | तीनों भुजाएँ एक ही अनुपात में |
AAA similarity सिद्ध करता है, congruence कभी नहीं। एक जैसे कोणों वाले दो त्रिभुजों का आकार अलग हो सकता है, और ठीक यही अंतर SSC पूछता है।
समरूप त्रिभुजों में अनुपात
भुजाएँ a : b अनुपात में हों तो क्षेत्रफल a squared : b squared अनुपात में होंगे
Midpoint theorem (मध्यबिंदु प्रमेय)
दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है और उसकी आधी लंबाई के बराबर होती है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. एक त्रिभुज में दो कोण 55 और 65 degrees हैं। तीसरे शीर्ष पर बाहरी कोण निकालिए। यह दोनों विपरीत आंतरिक कोणों के जोड़ के बराबर होता है, यानी 120 degrees।
उदाहरण 2. क्या 5, 9 और 15 त्रिभुज बना सकते हैं? दो छोटी भुजाओं से 5 जोड़ 9 = 14, जो 15 से कम है, इसलिए कोई त्रिभुज संभव नहीं है।
उदाहरण 3. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 3 से 5 के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निकालिए। यह भुजा अनुपात का वर्ग होता है, यानी 9 से 25।
उदाहरण 4. एक समकोण त्रिभुज में भुजाएँ 6 और 8 इकाई हैं। कर्ण और उस पर खींची गई माध्यिका की लंबाई निकालिए। कर्ण 10 है, और कर्ण पर माध्यिका उसकी आधी होती है, यानी 5 इकाई।
SSC के दोहराए जाने वाले ट्रैप
✗ AAA दो त्रिभुजों को congruent सिद्ध करता है | ✓ AAA केवल similarity सिद्ध करता है
✗ समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल भुजाओं के अनुपात में होते हैं | ✓ क्षेत्रफल भुजा अनुपात के वर्ग के अनुसार होते हैं
Congruent ka matlab hai bilkul barabar, similar ka matlab hai ek jaisi shakl par alag size. AAA sirf similar sabit karta hai.
Exam pointer — पूरे geometry सिलेबस में त्रिभुज सबसे घना हिस्सा है, जो सीधे 1 से 2 प्रश्न देता है और केंद्रों तथा वृत्त वाले प्रश्नों में भी काम आता है। Similarity का क्षेत्रफल-अनुपात वाला प्रश्न बहुत बार आता है और 20 सेकंड लेता है। Congruence की कसौटी वाले प्रश्न शुद्ध याददाश्त के हैं, इसलिए इन्हें कभी छोड़ना नहीं चाहिए।
Frequently Asked Questions
Congruence और similarity में क्या अंतर है?
Congruent त्रिभुज आकार और साइज दोनों में बिलकुल एक जैसे होते हैं, जबकि समरूप त्रिभुजों की शक्ल एक जैसी होती है पर साइज अलग हो सकता है। AAA से similarity सिद्ध होती है, congruence कभी नहीं।
कौन-सी कसौटियाँ दो त्रिभुजों को congruent सिद्ध करती हैं?
SSS, SAS, ASA, AAS और RHS। RHS नियम केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है और इसमें समकोण, कर्ण तथा एक अन्य भुजा का उपयोग किया जाता है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल आपस में कैसे जुड़े होते हैं?
उनके क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। भुजाएँ 3 से 5 के अनुपात में हों तो क्षेत्रफल 9 से 25 के अनुपात में होंगे।
तीन लंबाइयाँ त्रिभुज बना सकती हैं या नहीं, कैसे जाँचें?
दो छोटी लंबाइयों को जोड़िए और सबसे बड़ी से तुलना कीजिए। यदि जोड़ सबसे बड़ी भुजा से बड़ा है तो त्रिभुज संभव है; यदि बराबर या कम है तो त्रिभुज नहीं बनेगा।
60-second recap
- कोणों का जोड़ 180; बाहरी कोण दोनों विपरीत आंतरिक कोणों के बराबर।
- Congruence: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS। Similarity: AA।
- AAA से similarity मिलती है, congruence कभी नहीं।
- क्षेत्रफल अनुपात भुजा अनुपात का वर्ग होता है।
- मध्यबिंदु रेखा तीसरी भुजा के समांतर और उसकी आधी होती है।