Trigonometric Identities

Three Pythagorean identities carry the whole topic: sine squared plus cosine squared is 1, one plus tan squared is sec squared, and one plus cot squared is cosec squared. Almost every SSC simplification is one of these applied once, often after multiplying by a conjugate.

The three identities and their rearrangements

sin squared + cos squared = 1

1 + tan squared = sec squared, so sec squared - tan squared = 1

1 + cot squared = cosec squared, so cosec squared - cot squared = 1

The conjugate trick

Because sec squared minus tan squared equals 1, the expressions sec plus tan and sec minus tan are reciprocals of each other. The same holds for cosec and cot.

(sec + tan)(sec - tan) = 1 and (cosec + cot)(cosec - cot) = 1

This single relation solves a question type SSC sets almost every year, where one of the pair is given and the other is asked.

Useful derived results

sin to the fourth + cos to the fourth = 1 - 2 sin squared cos squared

sin to the sixth + cos to the sixth = 1 - 3 sin squared cos squared

Solved examples

Example 1. If sec theta plus tan theta equals 2, find sec theta minus tan theta. They are reciprocals, so the answer is one-half.

Example 2. Simplify (1 minus cos squared theta) times cosec squared theta. The first bracket is sine squared, and cosec squared is its reciprocal, so the answer is 1.

Example 3. If sin theta plus cos theta equals root 2, find sin theta times cos theta. Squaring gives 1 plus twice the product = 2, so the product is one-half.

Example 4. Evaluate sec squared 40 minus tan squared 40. By the identity, the answer is 1, whatever the angle.

Example 5. Simplify tan theta times cot theta plus sin squared theta plus cos squared theta. The first product is 1 and the rest is 1, so the answer is 2.

Traps SSC repeats

✗ sec squared + tan squared = 1  |  ✓ The identity uses a difference, not a sum

✗ sin squared theta means sin of theta squared  |  ✓ It means the square of sin theta

Frequently Asked Questions

What are the three main trigonometric identities?

Sine squared plus cosine squared equals 1, one plus tan squared equals sec squared, and one plus cot squared equals cosec squared. Every SSC simplification uses one of these.

If sec theta plus tan theta is 2, what is sec theta minus tan theta?

It is one-half, because the two expressions multiply to 1. The same reciprocal relation holds for cosec plus cot and cosec minus cot.

How do I find sin theta times cos theta from their sum?

Square the sum. Since sine squared plus cosine squared is 1, the square of the sum equals 1 plus twice the product, so the product follows in one step.

What is sec squared theta minus tan squared theta?

It always equals 1, regardless of the angle. SSC often sets this with an odd angle such as 40 degrees to check whether you recognise the identity.

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

तीन Pythagorean identities ही पूरा topic संभालती हैं: sine squared जोड़ cosine squared बराबर 1, एक जोड़ tan squared बराबर sec squared, और एक जोड़ cot squared बराबर cosec squared। SSC का लगभग हर सरलीकरण इन्हीं में से एक को एक बार लगाने से होता है, अक्सर conjugate से गुणा करने के बाद।

तीन identities और उनके रूप

sin squared + cos squared = 1

1 + tan squared = sec squared, इसलिए sec squared - tan squared = 1

1 + cot squared = cosec squared, इसलिए cosec squared - cot squared = 1

conjugate वाली तरकीब

चूँकि sec squared घटा tan squared बराबर 1 होता है, इसलिए sec जोड़ tan और sec घटा tan आपस में व्युत्क्रम हैं। यही बात cosec और cot के लिए भी लागू होती है।

(sec + tan)(sec - tan) = 1 और (cosec + cot)(cosec - cot) = 1

यही एक संबंध उस सवाल को हल कर देता है जो SSC लगभग हर साल पूछता है, जिसमें जोड़ी का एक भाग दिया होता है और दूसरा पूछा जाता है।

काम आने वाले व्युत्पन्न परिणाम

sin to the fourth + cos to the fourth = 1 - 2 sin squared cos squared

sin to the sixth + cos to the sixth = 1 - 3 sin squared cos squared

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. अगर sec theta जोड़ tan theta = 2 है, तो sec theta घटा tan theta निकालिए। दोनों व्युत्क्रम हैं, इसलिए उत्तर आधा है।

उदाहरण 2. (1 घटा cos squared theta) गुणा cosec squared theta को सरल कीजिए। पहला कोष्ठक sine squared है और cosec squared उसी का व्युत्क्रम है, इसलिए उत्तर 1 है।

उदाहरण 3. अगर sin theta जोड़ cos theta = root 2 है, तो sin theta गुणा cos theta निकालिए। वर्ग करने पर 1 जोड़ दोगुना गुणनफल = 2 मिलता है, इसलिए गुणनफल आधा है।

उदाहरण 4. sec squared 40 घटा tan squared 40 का मान निकालिए। identity के अनुसार उत्तर 1 है, कोण चाहे कोई भी हो।

उदाहरण 5. tan theta गुणा cot theta जोड़ sin squared theta जोड़ cos squared theta को सरल कीजिए। पहला गुणनफल 1 है और बाकी भी 1 है, इसलिए उत्तर 2 है।

SSC के दोहराए जाने वाले जाल

✗ sec squared + tan squared = 1  |  ✓ identity में योग नहीं, अंतर लगता है

✗ sin squared theta का मतलब sin of theta squared है  |  ✓ इसका मतलब sin theta का वर्ग है

Frequently Asked Questions

तीन मुख्य त्रिकोणमितीय identities कौन सी हैं?

sine squared जोड़ cosine squared बराबर 1, एक जोड़ tan squared बराबर sec squared, और एक जोड़ cot squared बराबर cosec squared। SSC का हर सरलीकरण इन्हीं में से किसी एक पर टिका होता है, इसलिए तीनों रटी हुई रहनी चाहिए।

अगर sec theta जोड़ tan theta 2 है, तो sec theta घटा tan theta क्या होगा?

यह आधा होगा, क्योंकि दोनों व्यंजकों का गुणनफल 1 होता है। यही व्युत्क्रम संबंध cosec जोड़ cot और cosec घटा cot की जोड़ी पर भी लागू होता है।

योग से sin theta गुणा cos theta कैसे निकालें?

योग का वर्ग कीजिए। चूँकि sine squared जोड़ cosine squared 1 होता है, इसलिए योग का वर्ग 1 जोड़ दोगुने गुणनफल के बराबर आता है, और गुणनफल एक ही चरण में मिल जाता है।

sec squared theta घटा tan squared theta कितना होता है?

यह हमेशा 1 होता है, कोण चाहे जो भी हो। SSC इसे अक्सर 40 डिग्री जैसे अजीब कोण के साथ पूछता है ताकि पता चले कि आपने identity पहचानी या नहीं।