इकाई अंक और गुणनखंड
Unit Digit and Factors
The unit digit of any power repeats in a cycle of at most four, so you divide the exponent by 4 and read the leftover. The number of factors comes from the prime factorisation: add one to each power and multiply. Both are pure formula questions and should take under 30 seconds.
Cyclicity of unit digits
| Last digit of base | Cycle length | Pattern of unit digits |
|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | 1 | Stays the same always |
| 4, 9 | 2 | 4 gives 4, 6; 9 gives 9, 1 |
| 2, 3, 7, 8 | 4 | 2 gives 2, 4, 8, 6 |
Divide the power by 4. Leftover 1, 2, 3 picks that term; leftover 0 picks the fourth term
Counting factors from prime factorisation
Write the number as primes raised to powers. Then apply the three formulas below. They cover almost every factor question SSC sets.
Number of factors = (a + 1)(b + 1)(c + 1) for primes raised to a, b, c
Sum of factors = product of (p to the power (a+1) minus 1) / (p minus 1)
Trailing zeros in n factorial = n/5 + n/25 + n/125, taking whole parts only
Solved examples
Example 1. Find the unit digit of 7 to the power 105. The digit 7 has a cycle of 4. Dividing 105 by 4 leaves 1, so the answer is the first term of the cycle, which is 7.
Example 2. Find the unit digit of 2 to the power 34 times 3 to the power 17. For 2, the leftover of 34 divided by 4 is 2, giving unit digit 4. For 3, the leftover of 17 divided by 4 is 1, giving unit digit 3. Multiply: 4 times 3 is 12, so the unit digit is 2.
Example 3. How many factors does 720 have? Factorise: 720 is 2 to the fourth times 3 squared times 5. Apply the formula: 5 times 3 times 2 = 30 factors.
Example 4. Find the sum of all factors of 60. Since 60 is 2 squared times 3 times 5, the sum is (1 + 2 + 4) times (1 + 3) times (1 + 5) = 7 times 4 times 6 = 168.
Example 5. How many zeros are at the end of 100 factorial? Take 100 divided by 5 giving 20, plus 100 divided by 25 giving 4. The total is 24 zeros.
Traps SSC repeats
✗ Leftover 0 means unit digit 0 | ✓ Leftover 0 means take the fourth term of the cycle
✗ Trailing zeros in 100! is 100/5 = 20 | ✓ Add the higher powers of 5 as well, giving 24
Cyclicity me sirf 4 se bhaag dena hai. Agar shesh 0 aaye to cycle ka aakhri term lo, zero mat likho - yahi sabse aam galti hai.
Exam pointer — Unit digit and factor counting together give 1 to 2 questions in Tier 1 and they are among the highest-return topics in the whole section, because both are single-formula questions with no traps in the calculation itself. Attempt them first in the Quant section. Target 25 seconds each, and never leave one unattempted.
Frequently Asked Questions
How do I find the unit digit of a large power?
Divide the exponent by 4 and note the leftover. If the leftover is 1, 2 or 3, take that term of the base's unit-digit cycle. If the leftover is 0, take the fourth term of the cycle.
How do I find the total number of factors of a number?
Write the number as a product of primes raised to powers, add 1 to each power, and multiply the results. For 720, which is 2 to the fourth times 3 squared times 5, this gives 5 times 3 times 2, or 30 factors.
How many zeros are at the end of 100 factorial?
There are 24. Count the multiples of 5 up to 100, which is 20, then add the multiples of 25, which is 4. Zeros come from pairs of 2 and 5, and 5s are always the scarcer factor.
Which digits have a cycle length of one?
The digits 0, 1, 5 and 6 keep the same unit digit no matter what the power is. Any question with these bases can be answered instantly without dividing the exponent.
60-second recap
- Unit digit cycles repeat every 4 at most.
- 0, 1, 5, 6 never change; 4 and 9 alternate.
- Leftover 0 means the fourth term, not zero.
- Factors = product of (power + 1).
- Trailing zeros come from counting 5s, including 25 and 125.
Now practise these number system questions in the free SSC CGL Tier 1 mock test on ExamAtlas.
हिंदी में — इसी टॉपिक का पूरा हिंदी अनुवाद नीचे दिया गया हौ
इकाई अंक और गुणनखंड
किसी भी power का इकाई अंक ज़्यादा से ज़्यादा चार की cycle में दोहराता है, इसलिए exponent को 4 से भाग देकर बचा हुआ शेष पढ़ लो। Factors की संख्या prime factorisation से आती है: हर power में 1 जोड़ो और गुणा कर दो। दोनों शुद्ध formula वाले सवाल हैं और 30 सेकंड से कम में निकल जाने चाहिए।
इकाई अंकों की cyclicity
| Base का अंतिम अंक | Cycle length | इकाई अंकों का पैटर्न |
|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | 1 | हमेशा वही रहता है |
| 4, 9 | 2 | 4 देता है 4, 6; 9 देता है 9, 1 |
| 2, 3, 7, 8 | 4 | 2 देता है 2, 4, 8, 6 |
Power को 4 से भाग दो। शेष 1, 2, 3 उसी term को चुनता है; शेष 0 चौथा term चुनता है
Prime factorisation से factors गिनना
संख्या को primes की powers के रूप में लिखो। फिर नीचे दिए तीन formulas लगाओ। SSC जो भी factor वाला सवाल बनाता है, ये लगभग उन सबको कवर कर लेते हैं।
Factors की संख्या = (a + 1)(b + 1)(c + 1), जहाँ primes की powers a, b, c हैं
Factors का योग = (p की power (a+1) घटा 1) / (p घटा 1) का गुणनफल
n factorial में अंत के zeros = n/5 + n/25 + n/125, सिर्फ़ पूर्ण भाग लेते हुए
हल किए हुए उदाहरण
Example 1. 7 की power 105 का इकाई अंक निकालो। अंक 7 की cycle 4 की है। 105 को 4 से भाग देने पर शेष 1 बचता है, इसलिए उत्तर cycle का पहला term है, यानी 7.
Example 2. 2 की power 34 गुणा 3 की power 17 का इकाई अंक निकालो। 2 के लिए 34 भाग 4 का शेष 2 है, जिससे इकाई अंक 4 आता है। 3 के लिए 17 भाग 4 का शेष 1 है, जिससे इकाई अंक 3 आता है। गुणा करो: 4 गुणा 3 है 12, इसलिए इकाई अंक 2 है।
Example 3. 720 के कितने factors हैं? Factorise करो: 720 है 2 की चौथी power गुणा 3 का वर्ग गुणा 5. Formula लगाओ: 5 गुणा 3 गुणा 2 = 30 factors.
Example 4. 60 के सभी factors का योग निकालो। चूँकि 60 है 2 का वर्ग गुणा 3 गुणा 5, इसलिए योग है (1 + 2 + 4) गुणा (1 + 3) गुणा (1 + 5) = 7 गुणा 4 गुणा 6 = 168.
Example 5. 100 factorial के अंत में कितने zeros हैं? 100 भाग 5 लो, जिससे 20 आता है, और 100 भाग 25 जोड़ो, जिससे 4 आता है। कुल 24 zeros.
वे traps जो SSC दोहराता है
✗ शेष 0 मतलब इकाई अंक 0 | ✓ शेष 0 मतलब cycle का चौथा term लो
✗ 100! में अंत के zeros 100/5 = 20 होते हैं | ✓ 5 की बड़ी powers भी जोड़ो, तब 24 आता है
Cyclicity me sirf 4 se bhaag dena hai. Agar shesh 0 aaye to cycle ka aakhri term lo, zero mat likho - yahi sabse aam galti hai.
Exam pointer — इकाई अंक और factor गिनना मिलकर Tier 1 में 1 से 2 सवाल देते हैं, और ये पूरे सेक्शन के सबसे ज़्यादा फ़ायदे वाले topics में हैं, क्योंकि दोनों एक ही formula वाले सवाल हैं और गणना में कोई trap नहीं होता। Quant सेक्शन में इन्हें सबसे पहले लगाओ। हर सवाल पर 25 सेकंड का लक्ष्य रखो, और इनमें से एक भी बिना attempt किए मत छोड़ो।
Frequently Asked Questions
बड़ी power का इकाई अंक कैसे निकालूँ?
Exponent को 4 से भाग दो और बचा हुआ शेष नोट कर लो। अगर शेष 1, 2 या 3 है, तो base की इकाई अंक वाली cycle का उतने नंबर का term ले लो। अगर शेष 0 है, तो cycle का चौथा term लो, शून्य नहीं।
किसी संख्या के कुल factors कैसे निकालूँ?
संख्या को primes की powers के गुणनफल के रूप में लिखो, हर power में 1 जोड़ो, और नतीजों को गुणा कर दो। 720 के लिए, जो 2 की चौथी power गुणा 3 का वर्ग गुणा 5 है, यह 5 गुणा 3 गुणा 2 देता है, यानी 30 factors.
100 factorial के अंत में कितने zeros हैं?
कुल 24 zeros हैं। 100 तक 5 के गुणजों को गिनो, जो 20 आते हैं, फिर 25 के गुणज जोड़ो, जो 4 आते हैं। Zeros 2 और 5 की जोड़ी से बनते हैं, और 5 हमेशा कम मात्रा में मिलने वाला factor होता है।
किन अंकों की cycle length एक होती है?
अंक 0, 1, 5 और 6 अपना इकाई अंक कभी नहीं बदलते, चाहे power कुछ भी हो। इन bases वाला कोई भी सवाल exponent को भाग दिए बिना, तुरंत जवाब दे देता है। परीक्षा में यह सबसे तेज़ पहचान है।
60-second recap
- इकाई अंक की cycle ज़्यादा से ज़्यादा 4 पर दोहराती है।
- 0, 1, 5, 6 कभी नहीं बदलते; 4 और 9 बारी-बारी चलते हैं।
- शेष 0 का मतलब चौथा term, शून्य नहीं।
- Factors = (power + 1) का गुणनफल।
- अंत के zeros 5 गिनने से आते हैं, जिसमें 25 और 125 भी शामिल हैं।
अब इन number system सवालों की practice ExamAtlas के free SSC CGL Tier 1 mock test में करो।