औसत, क्षेत्रमिति एवं आँकड़े
औसत, क्षेत्रमिति एवं आँकड़े
यह विषय 2 प्रश्न देता है और गणित हिस्से को पूरा करता है। औसत में एक ही सूत्र चलता है, क्षेत्रमिति में कुछ गिने-चुने सूत्र, और आँकड़ों में तालिका पढ़ने का कौशल — तीनों में गणना कम और समझ अधिक चाहिए।
औसत
औसत = सभी राशियों का योग ÷ राशियों की संख्या
परीक्षा में सीधा औसत कम पूछा जाता है; प्रायः एक संख्या बदल जाने पर नया औसत पूछा जाता है। ऐसे सवाल में पूरा योग दोबारा मत निकालिए — केवल यह देखिए कि योग में कितना अंतर आया।
यदि n संख्याओं का औसत A है और एक संख्या x से बदलकर y हो जाए, तो नया औसत A + (y − x)/n होगा। यह छोटा रास्ता बहुत समय बचाता है।
✗ एक संख्या बदलने पर पूरा योग दोबारा निकालना पड़ता है | ✓ केवल अंतर को संख्याओं की संख्या से भाग देकर औसत में जोड़ दीजिए
पहली n प्राकृत संख्याओं का औसत (n + 1)/2 होता है — यह भी एक तयशुदा प्रश्न है।
क्षेत्रमिति के मुख्य सूत्र
| आकृति | क्षेत्रफल | परिमाप |
|---|---|---|
| आयत | लंबाई × चौड़ाई | 2 (ल + चौ) |
| वर्ग | भुजा² | 4 × भुजा |
| त्रिभुज | ½ × आधार × ऊँचाई | तीनों भुजाओं का योग |
| वृत्त | πr² | 2πr |
| समलंब | ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई | चारों भुजाओं का योग |
घनों के लिए तीन सूत्र काफ़ी हैं — घन का आयतन = भुजा³, घनाभ का आयतन = ल × चौ × ऊँ, और बेलन का आयतन = πr²h।
एक बात ध्यान रखिए — भुजा दोगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना और आयतन आठ गुना हो जाता है। यह अनुपात वाला प्रश्न बार-बार आता है।
आँकड़ों की व्याख्या
- माध्य — सभी मानों का औसत।
- माध्यिका — क्रम में लगाने पर बीच का मान।
- बहुलक — सबसे अधिक बार आने वाला मान।
आँकड़ों वाले प्रश्न में सबसे बड़ी गलती जल्दबाज़ी है। पहले तालिका या ग्राफ़ का शीर्षक और मात्रक पढ़िए, फिर प्रश्न देखिए। मात्रक हज़ार में है या लाख में — यही चूक सबसे अधिक अंक ले जाती है।
क्षेत्रमिति में सूत्र रटने से पहले यह देखिए कि प्रश्न क्षेत्रफल पूछ रहा है या परिमाप। क्षेत्रफल वर्ग इकाई में आता है और परिमाप सरल इकाई में — इकाई देखकर ही आधा उत्तर तय हो जाता है।
TRE संकेत: औसत में बदली हुई संख्या वाला छोटा रास्ता याद रखिए — नया औसत = पुराना औसत + (अंतर ÷ संख्या)। क्षेत्रमिति में भुजा दोगुनी होने पर क्षेत्रफल चौगुना, आयतन आठ गुना तयशुदा प्रश्न है। आँकड़ों में मात्रक पहले पढ़िए — हज़ार और लाख की चूक सबसे महँगी पड़ती है।
60 सेकंड का रिवीजन
- औसत = योग ÷ संख्या।
- एक संख्या बदलने पर नया औसत = पुराना औसत + (अंतर ÷ संख्या)।
- पहली n प्राकृत संख्याओं का औसत (n + 1)/2 होता है।
- वृत्त का क्षेत्रफल πr² और परिधि 2πr।
- भुजा दोगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना, आयतन आठ गुना।
- माध्यिका बीच का मान और बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
औसत वाले सवाल में एक संख्या बदल जाए तो क्या करें?
पूरा योग दोबारा निकालने की ज़रूरत नहीं। नई और पुरानी संख्या का अंतर निकालिए और उसे कुल संख्याओं की संख्या से भाग देकर पुराने औसत में जोड़ दीजिए। यही छोटा रास्ता ऐसे हर सवाल में चलता है और काफ़ी समय बचाता है।
भुजा दोगुनी करने पर क्षेत्रफल और आयतन का क्या होता है?
क्षेत्रफल चार गुना और आयतन आठ गुना हो जाता है, क्योंकि क्षेत्रफल भुजा के वर्ग पर और आयतन घन पर निर्भर करता है। यही कारण है कि अनुपात वाले ऐसे प्रश्न में सीधे दोगुना उत्तर देना गलत होता है।
माध्य, माध्यिका और बहुलक में क्या अंतर है?
माध्य सभी मानों का औसत है। माध्यिका वह मान है जो आँकड़ों को क्रम में लगाने पर ठीक बीच में आता है। बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। तीनों केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं पर तीनों अलग-अलग बात बताते हैं।
आँकड़ों वाले प्रश्न में सबसे आम गलती क्या है?
मात्रक न पढ़ना। तालिका या ग्राफ़ के मान हज़ार में दिए हो सकते हैं और उत्तर लाख में माँगा जा सकता है। शीर्षक और मात्रक पहले पढ़ लेने से यह चूक पूरी तरह बच जाती है और बाकी गणना सीधी रह जाती है।