प्रायिकता की मूल अवधारणा
Basics of Probability
प्रायिकता से 1 प्रश्न लगभग तय है और वह सिक्का, पासा या ताश के पत्तों पर होता है। सूत्र एक ही है, इसलिए असली काम प्रतिदर्श समष्टि सही गिनने का है — वहीं चूक होती है, सूत्र में नहीं।
परिभाषा
प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या
- प्रायिकता का मान सदा 0 और 1 के बीच रहता है।
- असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की 1 होती है।
- किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
तीसरा गुण सबसे उपयोगी है — कम से कम एक वाले सवाल में सीधे गिनने के बजाय 1 में से एक भी नहीं की प्रायिकता घटा दीजिए। यह रास्ता बहुत छोटा पड़ता है।
✗ प्रायिकता 1 से अधिक हो सकती है | ✓ वह सदा 0 और 1 के बीच रहती है; 1 से अधिक आने का अर्थ है गणना में भूल
जानने योग्य प्रतिदर्श समष्टियाँ
| प्रयोग | कुल परिणाम |
|---|---|
| एक सिक्का | 2 |
| दो सिक्के | 4 |
| तीन सिक्के | 8 |
| एक पासा | 6 |
| दो पासे | 36 |
n सिक्कों के लिए कुल परिणाम 2ⁿ और n पासों के लिए 6ⁿ होते हैं। दो पासों में योग सबसे अधिक बार 7 आता है, जिसके छह तरीके हैं — यह सीधे पूछा जाता है।
ताश की गड्डी
| विवरण | संख्या |
|---|---|
| कुल पत्ते | 52 |
| रंग | 2 — लाल और काला |
| सूट | 4 — पान, ईंट, चिड़ी, हुकुम |
| हर सूट में | 13 पत्ते |
| तस्वीर वाले पत्ते | 12 — बादशाह, बेगम, गुलाम |
| इक्के | 4 |
दो बातें अलग से याद रखिए — लाल पत्ते 26 होते हैं (पान और ईंट), और तस्वीर वाले पत्ते 12, क्योंकि हर सूट में तीन होते हैं। इक्का तस्वीर वाला पत्ता नहीं माना जाता, यह जाल अक्सर रखा जाता है।
हल किए हुए उदाहरण
- दो सिक्के उछालने पर कम से कम एक चित आने की प्रायिकता — एक भी चित न आने की प्रायिकता 1/4 है, इसलिए उत्तर 1 − 1/4 = 3/4।
- एक पासा फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता — अनुकूल परिणाम 2, 3, 5 यानी तीन, इसलिए 3/6 = 1/2।
- गड्डी से एक पत्ता निकालने पर लाल तस्वीर वाला पत्ता आने की प्रायिकता — लाल तस्वीर वाले पत्ते 6 हैं, इसलिए 6/52 = 3/26।
पहला उदाहरण पूरक वाली विधि दिखाता है और यही सबसे अधिक समय बचाता है। जहाँ भी कम से कम शब्द दिखे, वहाँ यही रास्ता सोचिए।
प्रायिकता का उत्तर हमेशा जाँच लीजिए — यदि वह 1 से बड़ा या ऋणात्मक आ जाए तो कहीं गिनती में भूल हुई है। यह जाँच दो सेकंड लेती है और ग़लत विकल्प से बचा लेती है।
TRE संकेत: कम से कम वाले सवाल में पूरक विधि लगाइए — 1 में से उल्टी घटना घटाइए। ताश में तस्वीर वाले 12 पत्ते होते हैं और इक्का उनमें नहीं गिना जाता — यह तयशुदा जाल है। दो पासों में योग 7 सबसे अधिक बार आता है, छह तरीकों से।
60 सेकंड का रिवीजन
- प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम; मान 0 और 1 के बीच।
- किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
- n सिक्कों में 2ⁿ और n पासों में 6ⁿ कुल परिणाम होते हैं।
- दो पासों में योग 7 सबसे अधिक बार, छह तरीकों से आता है।
- ताश की गड्डी में 52 पत्ते, 26 लाल और 12 तस्वीर वाले होते हैं।
- कम से कम वाले सवाल में पूरक विधि सबसे तेज़ है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कम से कम एक वाले सवाल कैसे हल करें?
पूरक विधि से। एक भी न आने की प्रायिकता निकालिए और उसे एक में से घटा दीजिए। दो सिक्कों में कम से कम एक चित आने की प्रायिकता एक घटा एक बटा चार यानी तीन बटा चार होती है। सीधे गिनने की तुलना में यह रास्ता बहुत छोटा है।
ताश की गड्डी में कितने तस्वीर वाले पत्ते होते हैं?
बारह, क्योंकि हर सूट में बादशाह, बेगम और गुलाम मिलाकर तीन होते हैं और सूट चार हैं। इक्का तस्वीर वाला पत्ता नहीं माना जाता, यद्यपि परीक्षा में उसे शामिल करके सोलह वाला विकल्प जाल के रूप में रखा जाता है।
दो पासों में कौन-सा योग सबसे अधिक बार आता है?
सात, जो छह अलग-अलग तरीकों से बन सकता है — एक और छह, दो और पाँच, तीन और चार, तथा इनके उलटे क्रम। इसीलिए दो पासों के छत्तीस परिणामों में सात आने की प्रायिकता सबसे अधिक, यानी छह बटा छत्तीस होती है।
प्रायिकता का मान एक से अधिक आ जाए तो क्या करें?
गणना दोबारा जाँचिए, क्योंकि प्रायिकता कभी एक से अधिक नहीं हो सकती। वह सदा शून्य और एक के बीच रहती है, जहाँ शून्य असंभव घटना और एक निश्चित घटना दर्शाता है। एक से बड़ा या ऋणात्मक मान आने का अर्थ है कि गिनती में भूल हुई है।
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